Математическим ожиданием (ДСВ) X называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности. Для ДСВ X, принимающей значения x 1, x 2,..., xn с вероятностями p 1, p 2,..., pn соответственно, имеем:
Пусть значения HСB X принадлежат отрезку [ а, b ]. Математическим ожиданием НCВ X называется величина:
.
Отклонением называют разность между случайной величинойи её математическим ожиданием: X – M (X)
Дисперсией (рассеянием) D (X) ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:
Дисперсией D (X) НСВ X называется величина:
Если возможные значения НСВ X принадлежат всей числовой оси, то пределы интегрирования берутся от -ђ до ђ.
Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии:
Примеры решения задач
1. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет ровно 9 очков.
Решение. Общее число элементарных исходов n =36. Число благоприятных исходов m =4 (3+6, 4+5, 5+4, 6+3). Вероятность:
Р(А) = n/m = 4/36 = 1/9» 0.111
Ответ: вероятность того, что выпадет 9 очков, равна 0.111.
2. Две зенитные установки выпускают ракеты по самолету. Вероятность попадания первой ракеты 0.8, второй – 0.9. Найти вероятность поражения цели.
Решение. Рассмотрим события: А – попадание первой ракеты, В – попадание второй ракеты. События А и В – совместные. Сумма событий:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0.8 + 0.9 - 0.8*0.9 = 0.98
Ответ: вероятность поражения цели 0.98.
3. На склад поступило 3 партии изделий: первая - 2000 штук, вторая - 3000 штук, третья - 1000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 10%, во второй - 5%, в третьей - 15%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.
Решение. Всего изделий 2000+3000+1000=6000 штук. Рассмотрим гипотезы: Н 1 – изделие из первой партии, Н 2 – изделие из первой партии, Н 3 – изделие из первой партии. Их вероятности:
Р (Н 1) = 2000/6000=1/3; Р (Н 2) = 3000/6000 = 1/2; Р (Н 3) = 1000/6000 = 1/6
Событие А – наудачу взятое изделие стандартное. Условные вероятности:
Р (А/Н 1) = 0.9; Р (А/Н 2)= 0.95; Р (А / Н 3)= 0.85
Полная вероятность:
Р(А) = Р(Н1)* Р (А/Н 1) + Р (Н 2) *Р (А / Н 2) + Р (Н 3) *Р (А/Н 3) =
=1/3*0.9 + 1/2*0.95 + 1/6*0.85 = 0.917
Ответ: вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным, равна 0.917.
4. В пирамиде 15 снайперских винтовок, из них 5 СС-В и 10 СВД. Вероятность поражения цели из СС-В – 0.9, из СВД – 0.8. Снайпер поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее, выстрел был произведен из СС-В или из СВД?
Решение. Рассмотрим гипотезы: Н1 – взята винтовка СС-В, Н2 – взята винтовка СВД.
Р (Н 1)= 5/15 = 1/3; Р (Н 2)= 10/15 = 2/3
Событие А – цель поражена. Условные вероятности:
Р (А / Н 1)= 0.9; Р (А/Н 2 ) = 0.8
По формуле Байеса:
Р (Н 1/ А) =Р (Н 1) *Р (А/Н 1)/(Р (Н 1) *Р (А / Н 1) +Р (Н 2) *Р (А / Н 2))= 0.36
Р (Н 2/ А) =Р (Н 2) *Р (А / Н 2)/(Р(Н 1) *Р (А / Н 1) +Р (Н 2) *Р (А / Н 2))= 0.64
Ответ: вероятность того, что цель была поражена из винтовки СВД, выше, чем из винтовки СС-В.
