Дисперсия случайной величины

Математическим ожиданием (ДСВ) X называют сумму произведений всех её возможных значений на их ве­роятности. Для ДСВ X, принимающей значения x ₁, x ₂,..., x_n с вероятностями p ₁, p ₂,..., p_n соответственно, имеем:

Пусть значения HСB X принадлежат отрезку [ а, b ]. Математическим ожиданием НCВ X называется величина:

.

Отклонением называют разность между случайной величинойи её математическим ожиданием: X – M (X)

Дисперсией (рассеянием) D (X) ДСВ X называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

Дисперсией D (X) НСВ X называется величина:

Если возможные значения НСВ X принадлежат всей числовой оси, то пределы интегрирования берутся от -ђ до ђ.

Средним квадратическим отклонением называют корень квадратный из дисперсии:

Примеры решения задач

 

1. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадет ровно 9 очков.

Решение. Общее число элементарных исходов n =36. Число благоприятных исходов m =4 (3+6, 4+5, 5+4, 6+3). Вероятность:

Р(А) = n/m = 4/36 = 1/9» 0.111

Ответ: вероятность того, что выпадет 9 очков, равна 0.111.

 

2. Две зенитные установки выпускают ракеты по самолету. Вероятность попадания первой ракеты 0.8, второй – 0.9. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Рассмотрим события: А – попадание первой ракеты, В – попадание второй ракеты. События А и В – совместные. Сумма событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0.8 + 0.9 - 0.8*0.9 = 0.98

Ответ: вероятность поражения цели 0.98.

 

3. На склад поступило 3 партии изделий: первая - 2000 штук, вторая - 3000 штук, третья - 1000 штук. Средний процент нестандартных изделий в первой партии 10%, во второй - 5%, в третьей - 15%. Найти вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным.

Решение. Всего изделий 2000+3000+1000=6000 штук. Рассмотрим гипотезы: Н ₁ – изделие из первой партии, Н ₂ – изделие из первой партии, Н ₃ – изделие из первой партии. Их вероятности:

Р (Н ₁) = 2000/6000=1/3; Р (Н ₂) = 3000/6000 = 1/2; Р (Н ₃) = 1000/6000 = 1/6

Событие А – наудачу взятое изделие стандартное. Условные вероятности:

Р (А/Н ₁) = 0.9; Р (А/Н ₂)= 0.95; Р (А / Н ₃)= 0.85

Полная вероятность:

Р(А) = Р(Н₁)* Р (А/Н ₁) + Р (Н ₂) *Р (А / Н ₂) + Р (Н ₃) *Р (А/Н ₃) =

=1/3*0.9 + 1/2*0.95 + 1/6*0.85 = 0.917

Ответ: вероятность того, что наудачу взятое со склада изделие будет стандартным, равна 0.917.

 

4. В пирамиде 15 снайперских винтовок, из них 5 СС-В и 10 СВД. Вероятность поражения цели из СС-В – 0.9, из СВД – 0.8. Снайпер поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее, выстрел был произведен из СС-В или из СВД?

Решение. Рассмотрим гипотезы: Н₁ – взята винтовка СС-В, Н₂ – взята винтовка СВД.

Р (Н ₁)= 5/15 = 1/3; Р (Н ₂)= 10/15 = 2/3

Событие А – цель поражена. Условные вероятности:

Р (А / Н ₁)= 0.9; Р (А/Н ₂ ) = 0.8

По формуле Байеса:

Р (Н ₁/ А) =Р (Н ₁) *Р (А/Н ₁)/(Р (Н ₁) *Р (А / Н ₁) +Р (Н ₂) *Р (А / Н ₂))= 0.36

Р (Н ₂/ А) =Р (Н ₂) *Р (А / Н ₂)/(Р(Н ₁) *Р (А / Н ₁) +Р (Н ₂) *Р (А / Н ₂))= 0.64

Ответ: вероятность того, что цель была поражена из винтовки СВД, выше, чем из винтовки СС-В.