Перечень основных вопросов экзамена (без учета коллоквиума) в четвертом семестре

Интеграл Фурье:

1. Что такое преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции? Опишите его основные свойства.
2. Сформулируйте теорему об обращении преобразования Фурье.
3. Что представляет собой равенство Парсеваля для преобразования Фурье? Дайте примеры.
4. Как найти преобразование Фурье производной? Какова связь между гладкостью функции и скоростью убывания ее преобразования Фурье на бесконечности?
5. Как найти преобразование Фурье произведения функции на аргумент? Какова связь между скоростью убывания функции на бесконечности с гладкостью ее преобразования Фурье?
6. Дайте определение свертки функций на оси. Чему равно преобразование Фурье свертки.
7. Что такое гауссова плотность? Чему равно преобразование Фурье гауссовой плотности?

 

Вариационное исчисление:

1. Что такое интегральный функционал? Что такое вариация интегрального функционала?
2. Сформулируйте основную лемму вариационного исчисления. Опишите идею ее доказательства.
3. Что такое уравнение Эйлера–Лагранжа? Как оно получается?
4. Пусть функция Лагранжа F(x,y,y′) не зависит от переменной x. Что представляет собой первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа? Почему?
5. Что такое естественные граничные условия? В каких вариационных задачах они возникают?
6. Выпишите уравнения Эйлера–Лагранжа в случае нескольких функций. Как они получаются?
7. Сформулируйте принцип наименьшего действия в лагранжевой механике. Что представляют собой уравнения Эйлера-Лагранжа, если кинетическая энергия равна T = m(x'2+y'2+z'2)/2, а потенциальная U = U(x,y,z)?
8. Выпишите уравнение Эйлера–Лагранжа для экстремалей двойных интегралов. Как оно выводится?
9. Что представляет собой волновое уравнение? Дайте его интерпретацию как уравнения Эйлера–Остроградского.
10. Как ставится изопериметрическая задача? Как она сводится к задаче на условный экстремум функции нескольких переменных?
11. Как ставится задача Лагранжа? В чем отличие голономных связей от неголономных? Что такое множители Лагранжа в случае задачи Лагранжа, в чем их отличие от множителей Лагранжа для изопериметрической задачи?
12. Что такое условие трансверсальности? Каков его геометрический смысл?
13. Сформулируйте принцип Ферма в геометрической оптике. Что представляет собой трансверсальность в геометрической оптике. Почему?
14. Выпишите условие Вейерштрасса–Эрдмана (на изломе). Какое заключение оно позволяет сделать в случае функционалов геометрической оптики?
15. Опишите функцию Гамильтона. Что такое канонический вид уравнений Эйлера–Лагранжа?
16. Объясните, как по частному решению уравнения Гамильтона–Якоби можно построить поле экстремалей?
17. Дайте вариационное описание собственных значений задачи Штурма–Лиувилля. Объясните рост собственных значений.
18. В чем заключается минимаксное свойство собственных значений? Объясните, как это позволяет сделать вывод о росте собственных значений к бесконечности.

 

Изучение фазовых портретов:

1. Что такое автономные системы дифференциальных уравнений на плоскости? Что представляет собой фазовый портрет такой системы?
2. Что такое гамильтоновы системы на плоскости? Какие их свойства Вам известны?
3. Расскажите об интеграле энергии гамильтоновой системы.
4. Опишите фазовые портреты линейных систем в случае вещественных собственных значений.
5. Опишите фазовые портреты линейных систем в случае комплексных собственных значений.
6. Что такое критические (неподвижные) точки общих систем дифференциальных уравнений на плоскости. Что утверждает теорема о линеаризации.
7. Что понимается под предельным циклом. Приведите пример.

 

Все материалы по курсу, в том числе примерный список вопросов в дополнительной части экзамена и тематику экзаменационных задач, можно найти на сайте кафедры по адресу

http://math.nw.ru/~budylin

Вопросы, выносимые на итоговый государственный экзамен

(только для направления 010600 «Прикладные математика и физика»)

 

1. Кратные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным.
2. Замена переменных в кратных интегралах. Полярные и сферические координаты.
3. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Определения, интерпретация.
4. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
5. Операторы grad, div, rot, ∆ (определение в декартовых координатах).
6. Формула Грина. Потенциал векторного поля на плоскости.
7. Формула Гаусса-Остроградского.
8. Обыкновенные дифференциальные уравнения: теорема существования и единственности решения задачи Коши.
9. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Про- странство решений. Определитель Вронского.
10. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
11. Линейные системы первого порядка с постоянными коэффициентами.
12. Тригонометрический ряд Фурье. Формулы для коэффициентов. Признак равномерной сходимости.
13. Ортонормированные системы. Ряд Фурье по ортонормированной системе, сходимость в среднем. Равенство Парсеваля.
14. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций.
15. Интеграл Фурье. Обратное преобразование Фурье. Свертка, преобразование Фурье свертки.
16. Первая вариация интегрального функционала. Необходимое условие экстремума. Уравнения Эйлера-Лагранжа.
17. Естественные граничные условия.
18. Задача Лагранжа.

Литература

 

Основная

 

1. В.И.Смирнов. Курс высшей математики, т. 2, М. Наука 1974.

1. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.Наука 1971.
2. И.А.Виноградова и др. Математический анализ в задачах и упражнениях. ИМУ, 1991.
3. Г.Е.Шилов. Математический анализ. Функции одной вещественной переменной. Ч3. М.Наука, 1970.
4. В.И.Смирнов. Курс высшей математики, т. 4 ч. 1, М. Наука 1974.
5. А.М.Будылин. Методическое пособие по высшей математике в третьем семестре с примерами решения типовых задач. СпбГУ, 2007
6. А.М.Будылин. Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре. СпбГУ, 2007
7. Е.Е.Лемехов и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу Высшая математика, III семестр, ЛГУ, 1984
8. Е.Е.Лемехов и др. Методические указания к практическим занятиям по курсу Высшая математика, IV семестр, ЛГУ, 1987

 

Дополнительная

 

1. Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, Физматлит 2003.
2. Л.Шварц, Анализ, М.Мир, 1972
3. В.С.Буслаев. Вариационное исчисление. ЛГУ, 1980.
4. А.М.Будылин. Вариационное исчисление на языке дифференциальных форм. СпбГУ, 2009