Моделювання циклічних перехідних процесів в економіці

Динаміка розвитку будь-якої економічної системи складна, багатовимірна, суперечлива, тому в дослідженнях застосовується моделювання, виявлення стійких і нестійких, істотних і неістотних чинників, взаємозв’язків, тенденцій. Моделі допомагають виявляти системоутворюючі, регулярні, такі, що повторюються в динаміці системи, що розвиваються, чинники і на основі пізнання їх закономірностей, – описувати процеси, що відбуваються. Схема побудови моделей економічної динаміки передбачає послідовність наступних етапів: спостереження, постановка мети і завдань, формулювання проблеми, збір інформації, відбір показників-функцій і показників-чинників, побудова гіпотез, експеримент, розробка варіантів моделі, перевірка отриманої моделі на значущість, економічна інтерпретація і прогноз. В той же час, слід пам’ятати, що основа побудови моделі – вибір чинників, які необхідно відібрати, враховуючи той факт, що за наявності великої кількості чинників модель нестійка, а при малій кількості – можуть з’явитися помилки при ухваленні рішень. Вміст такого підходу дозволяє формувати економіко-математичні моделі, працювати з ними і інтерпретувати результати моделювання. Особливістю моделювання циклів економічної динаміки є надання функціям дискретної форми, що формалізуються. Визнаючи неперервність перебігу часу, при аналізі будь-якого процесу все ж штучно створюється дискретність: процес розбивається на рівні по величині відрізки – роки, квартали, місяці, тижні, дні. Так з’являється динамічний ряд, тобто декілька або безліч числових величин, які поділяються на зазвичай рівні по величині періоди часу. Математичний опис циклів дозволяє вирішувати ряд важливих завдань, а саме:

- вивчення внутрішніх процесів даного явища, пізнання його як такого;

- моделювання і, як наслідок, вивчення поведінки параметрів циклів під впливом змінних значень чинників;

- побудова системи моделей, узгодження і синхронізація її інформації з прийнятих рішень із системою керування процесом.

Розглянемо змістовну характеристику математичних методів, застосовуваних для формалізації економічних циклів, умови і межі їх застосування.

Основним методом, до якого досі вдавалися в емпіричних дослідженнях, є виділення трендів. Для цього використовуються різні функції, що описують зміну економічних показників в часі. За допомогою звичайних статистичних процедур підбираються параметри відповідної трендової функції, в якості якої використовують експоненціальні, лінійні, поліноміальні, логістичні та інші залежності, зумовлені фактичною динамікою вимірюваного показника.

Крім того, більшість економічних рядів є складним рухом, що містить в собі тренди і різні коливання, як близькі до періодичних, так і чисто випадкові. Методи виділення таких рухів часто інтуїтивні і залежать від суб’єктивного підходу дослідника.

Визначення тренду є пошуком процесу в умовах майже повної невизначеності. Все залежить від сформульованої концепції – чи тренд є випадковим, являє він собою гладку криву чи ні, і яке співвідношення між трендом і випадковими елементами, що накладаються на нього. Часто застосовуваний для визначення тренду метод найменших квадратів дозволяє відсіяти абсолютно неприпустимі траєкторії і відібрати порівняно прийнятні в рамках суб’єктивних припущень.

Економічні ряди включають більш-менш виразний тренд, отже, можливості і результати спектрального аналізу визначаються способами елімінування тренду, які залишають бажати кращого. Примітно, що невдалий досвід застосування спектрального аналізу для виділення ділових економічних циклів ніхто не розглядає як доказ їх неіснування.

Разом з тим, С.М. Меньшиков і Л.А. Клименко вважають, що аналіз статистичних даних при вирішенні проблеми економічних циклів не може відігравати першочергову роль, а повинен швидше носити допоміжний характер. Саме тому вони виступають проти використання спектрального аналізу і більш схильні на первинному етапі дослідження до простих процедур, які застосовував ще Н.Д. Кондратьєв, а також до візуального аналізу, який завжди давав великий матеріал для формулювання гіпотез.

Різницеві перетворення С.М. Меньшиков і Л.А. Клименко вважають більш об’єктивними, але вони також засновані на припущенні про те, що тренд процесу являє собою поліном з випадковими коефіцієнтами. Якщо тренд близький до прямої, то середня всіх різниць дає оцінку коефіцієнта тимчасового фактора, обчисленого за методом найменших квадратів.

Проводиться перехід від спостережуваних показників до перших різниць, які також піддаються статистичній обробці і різним перетворенням (піднесенню до квадрату, логарифмуванню, вирівнюванню за допомогою ковзних середніх тощо). Квазіперіодичні відхилення від тренду більш-менш відрізняються один від одного за формою і амплітудою, розглядаються як доказ існування довгої хвилі.

Різницеві перетворення виділяють тренд, але збільшують в ньому вплив випадкових компонент, тому надається перевага застосуванню методу найменших квадратів.

Першим в системі економіко-математичного моделювання циклів Є.Г. Яковенко називає метод регресійного аналізу, який застосовується для вибору динамічного виду рівнянь циклів. Аналіз багатофакторної кореляційної або регресійної моделі здійснюється на основі методу найменших квадратів. У процесі аналізу обчислюються необхідні характеристики, їх стандартні помилки і довірчі інтервали, критерії, які дозволяють робити висновки про ступінь значимості обчислених величин параметрів циклів. Залежно від завдання вхідних параметрів визначаються коефіцієнти множинної лінійної або криволінійної регресії.

Задаючи відповідним чином параметри, можна одержати наступні регресії: лінійну, поліноміальну, мультиплікативну, трансцендентну та багато інших. Вид регресії задається на підставі заздалегідь передбачуваної залежності між показником-функцією та показниками-факторами.

Другим методом формалізації параметрів циклів, за словами Є. Г. Яковенка, є метод ітеративного аналізу. Економічний зміст процесу ітерації зводиться до послідовного розрахунку однотипних ітерацій, що відрізняються лише оброблюваною інформацією, але не складом обчислювальних операцій. У загальному випадку ітерація – етап реалізації обчислювального алгоритму.

Процес ітеративного аналізу закінчується, якщо похибка апроксимації виявляється в допустимих межах. Ітеративні методи аналізу циклів будуються на змістовій економічній основі, значною мірою будучи розвитком і уточненням методів, неформалізовано використовуваних на практиці.

До переваг методів ітеративного аналізу відносять можливості

економічної інтерпретації процесу апроксимації кривих циклів, обліку

структурних особливостей цього завдання, використання будь-яких початкових наближень.

Третім у системі методів формалізації циклів життя є метод розрахунку математичного сподівання, дисперсії і стандартного відхилення (помилки). Ці величини необхідні для розрахунку довірчих інтервалів, які оцінюють достовірність отриманих результатів. Якщо лінія середніх не виходить за рамки довірчої зони, то можна говорити про те, що нерівномірність викликана варіаціями малої вибірки. Після цього шляхом апроксимації отримують рівняння, що описує криву циклу.

Триває пошук більш точних математичних методів виявлення квазіперіодичних довготривалих коливань, який сконцентрувався на проблемі побудови спеціальних функцій-фільтрів. Фільтром в даному контексті називається математичне ізоморфне перетворення вихідного ряду в новий, що елімінує коливання певної частоти. Поряд з трендом динамічні ряди містять цілий спектр різних коливань різної частоти: короткі цикли Кітчина (1/3), ділові цикли (1/10), цикли Кузнєца (1/21). Всі ці коливання, включаючи тренд, повинні елімінувати для точного виділення довгих хвиль (з частотою 1/48 - 1/56).

Найбільш поширеним фільтром служить процедура вирівнювання динамічного ряду за допомогою ковзних середніх відповідної довжини. Зокрема, запропоновано використовувати для виділення низькочастотних коливань спеціальні смугові фільтри, що дозволяють пропускати і затримувати коливання певної частоти.

Слід особливо відзначити, що з метою відокремлення тривалих коливань від високочастотних застосовують операцію усереднення часових рядів. Така операція теж може внести в результуючий ряд додаткові коливання. Однак якщо тривалі коливання візуально явно проглядаються і їх розмах більше, ніж амплітуда коротких, то застосування операції усереднення виправдано. Операція усереднення заснована на основі фільтрації з застосуванням трьох- і

дев’ятирічних ковзних середніх для згладжування часових рядів.

Головним недоліком фільтрів, побудованих за допомогою ковзних середніх, є можливість появи штучних коливань в результаті їх застосування. Ймовірність виникнення періодичних коливань, у тому числі низькочастотних, внаслідок «пропускання через фільтр» стаціонарного динамічного ряду була продемонстрована Є. Слуцьким у 1937р. З тих пір цей феномен, сьогодні вже добре досліджений, відомий у літературі як «ефект Слуцького». Як відзначає Б. Шіпош, фільтр, адекватний завданню виділення довгої хвилі, повинен елімінувати всі коливання з частотою менше 1/60, не індукувати ніяких коливань, не змінювати способу довгої хвилі. Ним запропонований один з фільтрів, що володіє такими властивостями.

У літературі останніх років для встановлення наявності низькочастотних коливань пропонуються також спеціальні фільтри, побудовані на основі припущень про характер розподілу і достовірності його спостережень.

Зрозуміло, зазначені методи є дуже наближеними. Але й процеси, які досліджуються з їхньою допомогою, не відрізняються високою стійкістю. Одне з головних положень теорії вимірювань полягає у вимозі відповідності техніки вимірювання характеру вимірюваних процесів. Так що використання наближених методів статистичного аналізу при вивченні довгих хвиль цілком може бути виправданим. Адже якщо довга хвиля існує, то в силу загального характеру економічних законів, що виявляються як тенденції, її теоретично неможливо виділити за допомогою методів, розрахованих на вивчення строго повторюваних явищ.

Разом з тим, в останні роки серед вчених, що вивчають довгострокові тенденції в економічній динаміці, все більшу підтримку знаходить ідея про необхідність розробки більш досконалих методів вивчення періодично повторюваних коливань. Порівнюючи математичний апарат, який використовується в економічних дослідженнях з широко вживаними в фізиці, Маркет називає економетричні моделі «незграбними». Необхідність використання нових математичних моделей, аналогічних тим, що вже мають поширення в дослідженнях динамічних систем у фізиці, біології, екології, психології, лінгвістиці, визнається в багатьох роботах по теоріях довгих хвиль. У деяких з них використані, наприклад, системи диференціальних рівнянь типу Вольтера-Лотка (при дослідженні макроекономічної динаміки). Інтерес представляє модель системної динаміки національної економіки США, розроблена під керівництвом Джоя Форрестера в Массачусетському технологічному інституті.

Як вказує Плотинський, ця модель системної динаміки складається з декількохсот співвідношень, що описують поведінку у виробництві, сфері обігу та політиці. У рішеннях цієї моделі містяться всі відомі в економіці цикли: короткострокові, середньострокові і тривалі. Циклічна або, в більш широкому сенсі, коливальна динаміка в більшій мірі відповідає реальним процесам у порівнянні з поведінкою траєкторій моделей зростання. У ряді наукових досліджень вивчаються інвестиційні, ділові та технологічні цикли, а також цикли зайнятості та господарської кон’юнктури. Розроблено ряд теоретичних схем і моделей економічних циклів, що розрізняються досліджуваними факторами, періодичністю і амплітудою відповідних коливальних режимів. У теорії бувають випадки, коли класичні і неокласичні моделі економічного зростання призводять до циклічних рішень. У рамках цих моделей можуть бути пояснені коливання основних макроекономічних змінних: національного доходу, капіталу, зайнятості.

Загальним недоліком таких моделей є те, що описувані ними коливальні процеси мають строго періодичний характер, що не завжди відповідає реальним економіко-статистичним даним. Більш складні циклічні процеси розглядаються в так званих моделях перекриваючих поколінь. У цих моделях в кожен момент часу діють два покоління індивідів: молоде і похиле, вибір яких не завжди збігається. Моделі перекриваючих поколінь дозволяють досліджувати динаміку складних систем в умовах невизначеності.