ІнтерполЯЦІЯ ФУНКЦІЙ
Постановка задачі
Нехай відомо, що функція y=f(x) існує на інтервалі [ a,b ] і у n точках цього інтервалу 
вона приймає значення 
.Треба визначити значення функції при аргументі x Î [ a,b ], при чому 
i = 1,2..., n.
Така задача виникає, наприклад, коли залежність y(x) визначається експериментально при обмеженій кількості вимірювань - n. Додаткові вимірювання з якоїсь причини (дорого, обмежена кількість дослідних зразків тощо) зробити неможливо, але треба оцінити значення y при значеннях x, таких що не використовувались при вимірюваннях. Очевидно такі умови не дозволяють точно визначити y(x) при 
. Можна отримати тільки наближену оцінку, виходячи з певного припущення про характер функціональної залежності між y та x. Аналогічна задача виникає при використанні таблиць функцій. Наприклад, треба знайти ln 4.63, а у таблиці є тільки ln 4.6 і ln 4.7. В усіх цих випадках виникає задача інтерполяції - наближеного відновлення функціональної залежності в інтервалах між вузлами xi .
Для розв’язання цієї задачі використовується інтерполяційна функція Y(x), така що
(2.1)
Значення функції y(x) знаходяться наближено y(x)» Y(x). На вибір інтерполяційної функції Y(x) впливає характер залежності y(x), але у загальному випадку частіше використовуються степеневі поліноми
(2.2)
Таким чином, для розв’язання задачі інтерполяції треба знайти поліном (2.2), що задоволить умови (2.1).
Метод невизначених коефіцієнтів
Поліном степеня m визначається своїми m +1 коефіцієнтами. Приймемо його у вигляді 
і підставимо у (2.1). Отримаємо систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими 
i=0,1,... n -1.
Визначник цієї системи є визначником Вандермонда і, якщо усі x2 різні, то він не дорівнює 0. У цьому випадку система має єдиний розв’язок, який і визначає поліном, що потрібен. Цей підхід доцільний тільки для того, щоб довести існування і єдиність інтерполяційного поліному, а для його побудови існують явні методи, які будуть розглянуті нижче.
Інтерполяційний поліном Лагранжа
Інтерполяційна формула Лагранжа дозволяє побудувати поліном степеня n -1, що задовольняє умови (2.1), і має наступний вигляд:
, (2.3)
де 
- поліном степеня n -1 такий, що:
, (2.4)
Вираз (2.4) означає, що поліном має корені 
при i¹j, і це дає змогу записати його у явному вигляді:
(2.5)
У цьому виразі коефіцієнт k обирається таким, щоб 
.
Підставляючи (2.5) у (2.3), отримуємо формулу Лагранжа у зручному для програмування вигляді:
. (2.6)
Існують інші форми запису інтерполяційного поліному, які можуть бути більш зручними у конкретних випадках ніж формула Лагранжа. Так інтерполяційна формула Ньютона з розділеними різницями подає інтерполяційний поліном як узагальнення відрізку ряду Тейлора.
Розділені різниці
Поняття розділеної різниці можна розглядати як узагальнення поняття похідної.
Для функції 
розділена різниця нульового порядку 
співпадає з її значенням.
1го порядку – визначається формулою 
2го порядку - 
(2.7)
kго порядку - 
Інтерполяційний поліном НЬЮТОНА
Різниця між деякою функцією та її інтерполяційним поліномом у формі Лагранжа може бути подана у наступному вигляді.
(2.8)
де 
Використовуючи це, різницю між інтерполяційними поліномами, побудованими відповідно по m та m- 1 вузлах можна подати таким чином:
.
Звідси поліном, що будується по довільній кількості вузлів n може бути записаний у наступній формі
, (2.9)
яка зветься інтерполяційною формулою Ньютона з розділеними різницями. Ця формула дозволяє зручно включати додаткові вузли інтерполяції, дописуючи відповідні додаткові члени.
Схема Ейткена
Ця схема дозволяє спростити обчислення значень інтерполяційного поліному.
Нехай 
- інтерполяційний поліном з вузлами інтерполяції 
Можна перевірити справедливість наступного виразу:
(2.10)
Ця формула використовується для послідовного обчислення значень поліномів за наступною схемою:
L (1)(x) L (2) (x) L (3)(x)..................... L (n)(x)
L (1,2)(x) L (2,3) (x)..................
L (1,2,3) (x).....................
....................
L (1,2,3,...n) (x)
