5- . - , .
: u(x) v(x) , :
- u(x) v(x) : f(x)dx udv, f(x)dx=udv; - u(x) , , dv , dx, , .
:
v(x):
() , Q(x) -.
6.
, .
. f(x) , x=j(t) , :
.
7.
.
, ( ) - .
, : , :
ϳ - .
8. -
: ³ .
: , , n<m. n³m, .
(4 ):
1. 2. 3. 4.
k³2, kÎN, D=p2-4q<0
: - :
1) Qm(x)=(x-a)k×gm-k(x), :
2) Qm(x)=(x2+px+q)k×gm-2k(x), :
, , , .
-:
1. - , .
2. . . , . , .
3. .
9.
ò R(sin x,cos x)dx, R - sin, cos, sin, cos . 䳿 . , ò R(sinx,cosx)dx - ò R*(t)dt, .
1) . , sin x, cos x , .
|
|
2) ϳ - sin x, cos x = t.
3) ϳ - cos x sin x = t.
4) ϳ - R(sin x, cos x) sinx, cosx , R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). tgx=t ctgx=t.
5) ϳ - R(tgx) tgx=t.
ò sin2nx×cos2mxdx .
10. .
1)
2)
3)
ϳ - .
1.
: Sn là0 [a;b] D, x, - f(x) [a;b] :
, , - f(x) [a;b]; , .
-, .
2.
1) f(x)=c=const,
2) - .
3) f1(x) f2(x) [a;b], :
4) , .
5) .
6) f(x) - [a;b], [a;c], [c;b], :
7) f(x) ³ 0 xÎ[a,b], b>a,
8) f(x), g(x) f(x)³g(x) xÎ[a;b], b>a, :
9) f(x) m£f(x)£M, xÎ[a;b], b>a,
10) ( ): - f(x) xÎ[a;b], b>a, x= cÎ [a;b], :
3. , -.
: - f(x) - xÎ [a;b], - , :
: 1) - f(x) f(x). 2) - - [a;b] , , , .
(-): - f(x) xÎ [a;b], - f(x) [a;b] - f(x) , :
F(x)=f(x)
:
: - .
|
|
4.
: : 1) f(x) xÎ [a;b]; 2) j(a)=, j(b)=b; 3) x=j(t) j(t) tÎ [a;b]; 4) tÎ [a;b]èxÎ [a;b],
: .
5.
: - u(x) v(x) xÎ[a;b],
1.
f(x) - b Î[a;+¥), .
: bà+¥ - [a;+¥) :
, , ( ), .
, f(x) a b, :
=const.
: x ³ a 0£f(x)£g(x) , .
2. ()
f(x) (a;b] x=a 2- .
: () f(x).
, .
:
1) x = a f(x),
2) x = b f(x),
3) x=c Î(a;b) f(x),
: , , [a;b] -.
3.
: D , Mi, u=f(x,y,z) D, :
n - n u=f(M), M(x1, x2,, xn,) D.
:
1.
2.
3. D=D1 È D2 D1 Ç D2= Æ.
4. S D.
4.
: D , - .
5.
: - f(x;y) D, - x= j (u;v), y= y(u;v) - Ouv, D, :
6.
:
, L , Mi.
, :
- u=f(x;y;z), L x=x(t), y=y(t), z=z(t), a £ t £ b. :
: .
P(x;y) Q(x;y) -, y = j(x) L, b, :
|
|
( L).
- - L, :
ֲ ̲
1. n- .
', - ' , .
, .
, (x1-x10)2+(x2-x20)2++(xn-xn0)2<d2 d- P0(x10, x20,, xn0).
: : (-0)2+(-0)2<d2.
, d- , , .
, , ( ).
. - d- , . . .
ᒺ .
, - .
2. -
(1, 2,..., n) D n- z Î E Ì R, , D Ì Rn n z=f(x1, x2,, xn). D -, - -.
3. -
- :
- ( )
- ( )
-
˳ . , - z=f(x;y) .
г f(x;y)=C.
4. -
- z=f(x;y) àx0, yày0, - e>0 d>0 , 0<(x-x0)2+(y-y0)2< d 2 | f(x;y)-B |<e :
: - , , - .
5. -
- z=f(x;y) P0(x0;y0),
- ( ), .
: D - z=f(x;y), x=x(u;v), y=y(u;v) - x=x(u;v), y=y(u;v) (u0;v0), - f(x;y) (0;0), x0=x(u0;v0), y0=y(u0;v0). - z=f(x(u;v);y(u;v)) (u0;v0).
6. -
. - , .
. - f(x;y) g(x;y) (x0;y0), f(x;y)g(x;y), f(x;y)×g(x;y), f(x;y)/g(x;y) g(x0;y0)¹0
. - , .
|
|
. - , , .
. ( -): - D . D , - .
. ( ): - f(x;y) ' D - - m, f(A) (B), cÎD, f(c)= m.
ֲͲ - ̲
1. - .
г - (0;0) Dz. г , - .
- .
2. -
- (0;0), Dz : , , , a, b Dxà0, Dyà0.
-, D+D - ( ) f(x;y) x0, y0 dz:
: - z= f(x;y) (x0,y0), :
: - z= f(x;y) (0;0) . , ( ) (0;0) .
3. -
, - .
: - z= f(x;y) (0;0) , (0;0).
4. -
: D - z= f(u;v), u=u(x;y), v=v(x;y) - u(x;y), v(x;y) (0;0)Î D , - z=f(u;v) (u 0; v 0), u0=u(x0;y0), v0=v(x0;y0). - z=f(u(x,y);v(x,y)) (0;0),
5. . 䳺
: - z=f(x;y) P0=(x0;y0); l P0=(x0;y0); P=(x;y) , , , P0=(x0;y0); D l P0. , , - z=f(x;y) 0
, - z=f(x;y) , .
- z=f(x;y) P0=(x0;y0) .
: - z=f(x;y) P0=(x0;y0) , - P0=(x0;y0).
: , - z=f(x;y) P0=(x0;y0)
6.
: - z=f(x;y) , d2z=d(dz). .
: - z=f(x;y) D, , - (0;0),
7. -
- y=f(x) , (x;y) F(x;y), - f(x), - f(x) -, F(x;y)=0.
, - y=f(x) F(x;y)=0 . :
- z=f(x;y), F(x;y;z)=0 F(x;y;z) - x,y,z, :
,
8. -
- z=f(x;y). , (x0;y0) - , n +1 . x0 y0 Dx Dy , , 璺 (x0;y0) (x0+Dx;y0+Dy), , . :
|
|
___
˲ - ̲
1. -
: - z=f(x;y) (x0;y0) . (x;y) , (x0;y0) () - z=f(x;y).
. .
( ): - z=f(x;y) (x0;y0), , .
( ): - (x0;y0), , . :
1) AC-B2>0 A<0 (x0;y0)
2) AC-B2>0 A>0
3) AC-B2<0
4) AC-B2=0
2. -
D Ì R2 - u=f(x;y), v= j (x;y) , :
: г , (x0;y0)Î - u=f(x;y) .
. .
( )
j(x;y)=0 y, , y= j 1(x), - y=f(x;y) () - :
ֲͲ в
1.
: , -. ..