Тема 9. Уравнение регрессии.

Задача (образец)

Пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции (х) в тыс. ед. и о расходе условного топлива (у) в тоннах (графы 1 и 2 таблицы).

Требуется найти уравнение зависимости расхода топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии у по х) и измерить тесноту зависимости между ними.

Решение.

А. Рассматривая уравнение регрессии в форме линейной функции вида , параметры данного уравнения ( и ) найдем из системы нормальных уравнений

x	y	X2	xy		Y2
				3,9
				4,4
				5,5
				5,5
				6,6
				6,6
				8,8
				12,1
				12,1
				14,3
				80 (округл 79,8)

Необходимые для решения суммы , , , рассчитаны выше в таблице. Подставляем их в уравнения и решаем систему:

Отсюда .

Подставляя в это уравнение последовательно значения х — 5, 6, 8, 10 и т.д., получаем выровненные (теоретические) значения результативного показателя (графа 5 таблицы).

Поскольку параметры уравнения регрессии являются оценочными, то для каждого из них рассчитывается средняя ошибка, т.е. .

Конкретный расчет ошибок для и , по данным нашего примера приведен далее (см. с. 83).

Б. Для измерения тесноты зависимости между 'у и ос воспользуемся прежде всего линейным коэффициентом корреляции (поскольку зависимость рассматривалась линейной):

а) применяем формулу Находим . Определяем и , предварительно найдя и Отсюда .

Значение линейного коэффициента корреляции r = 0,96 (т.е. близкое к единице) характеризует не только меру тесноты зависимости вариации у от вариации х, но и степень близости этой зависимости к линейной;

Задача 1.

Имеются следующие данные по 8 сахарным заводам о стоимости основных фондов, (x млн. руб.) и суточной переработке сахарной свеклы, y (тыс. т.):

		2,3	2.4	2.9	2.9	3.7	3.7	4.1
	8,9		9.9	10.3			12.8	13.1

Найти уравнение регрессии y по x и коэффициент корреляции и построить графики. Решить в mathcad.

 

 

 

 

 

Задача 2. По данным 10 предприятий с помощью с помощью коэффициентов корреляции измерить тесноту зависимости между объемом выпуска продукции (y) млн. руб. и стоимостью основных производственных фондов (x) млн. руб. и определить уравнение регрессии коэффициент корреляции.

 

	1,5	1,8	2,0	2,2	2,3	2,6	3,0	3,1	3,5	3,8
	3,9	4,4	3,8	3,5	4,8	4,3	7,0	6,5	6,1	8,2

Задача образец.

Задача 1. пусть по 10 однотипным предприятиям имеются следующие данные о выпуске продукции () в тыс. ед. и расходе условно топлива () в тоннах. Требуется найти уравнение зависимости расходов топлива от выпуска продукции (или уравнение регрессии) и измерить тесноту зависимости между ними (коэффициент корреляции).

Линейная регрессия

 

 

X-Coordinates

Y-Coordinates

Mean

Средние значения X и Y

Median

медиана по X и по Y

Standard dev.

среднее квадратическое отклонение по X и по Y

Variance

дисперсия

Regression Statistics

Intercept

коэффициенты уравнения регрессиии

Slope

Correlation coeff.

 

 

R2

Covariance

Standard Error

Plots

 

 

Определение уравнения нелинейной регрессии и индекса корреляции, определяющего тесноту связи между двумя переменными.

 

Задача 4.

По данным таблицы (1) исследовать зависимость урожайности зерновых культур от количества осадков и построить квадратичную регрессионную функцию.

Таблица 1.

 

Количество осадков, , см.

Урожайность (ц/га),

Решить эту задачу в mathcad.

1. Определите количество переменных i, vxi и vyi.

2. Запишите вектор regress(vx,vy,k), который в дальнейшем используем для определения коэффициентов уравнения.

3. Запишите коэффициент coeffs, где length(z) определяет длину вектора z.

4. Запишите обратный вектор coeffsT, из которого определяем коээфициенты уравнения регрессии.

5. Постройте график, на котором будут две кривые, эспериментальные данные изобразите в виде меток (квадратиков или крестиков), теоретические - в виде линии.