расчета температурных полей

Для ограждающих конструкций зданий плоское температурное поле характерно при наличии в них элементов каркаса, перемычек и пр., когда их протяженность значительно превышает толщину ограждения.

На процесс теплопередачи в рассматриваемой конструкции оказывают существенное влияние теплопроводные включения, например, стальные профили, образующие так называемые «мостики холода». Для разрыва этих мостиков холода профили соединяют с конструкцией, например, через фанерные прокладки. Подобный участок конструкции возможно выделить для расчета температурного поля. Температурное поле рассматриваемого участка двухмерно, так как распределение температуры во всех плоскостях, параллельных плоскости поперечного сечения конструкции, одинаково. Профили в основной части находятся на расстоянии 1, 2, …, х, м, один от другого (рисунок 3).

При определении приведенного сопротивления теплопередаче , м^2.оС/Вт, по данным расчета на персональном компьютере (ПК) стационарного двухмерного температурного поля исследуемая область, выделенная для расчета температурного поля, представляет собой фрагмент ограждающей конструкции, для которого надлежит определить величину .

Искомая величина

(3.1)

где ∑Q – сумма тепловых потоков, пересекающих исследуемую область, Вт/м², определенная в результате расчета температурного поля;

t_int, t_ext – соответственно температура внутреннего и наружного воздуха, ^оС;

L – протяженность исследуемой области, м.

При расчете двухмерного температурного поля выбранный участок вычерчивают в масштабе и на основании чертежа составляют схему расчета, упрощая ее для удобства разбивки на участки и блоки.

При этом:

- заменяют сложные конфигурации участков более простыми, если это имеет незначительное влияние в теплотехническом отношении;

- наносят на чертеж границы области исследования и оси координат (х, у или r, z). Выделяют участки с различными теплопроводностями и указывают условия теплообмена на границах. Проставляют все необходимые размеры;

- расчленяют область исследования на элементарные блоки, выделяя отдельно участки с различными коэффициентами теплопроводности. Вычерчи-

вают в масштабе схему расчленения исследуемой области и проставляют размеры всех блоков;

- вычерчивают область исследования в условной системе координат х’, y’, когда все блоки принимаются одного и того же размера. Проставляют координаты вершин полигонов, ограничивающих участки области с различными теплопроводностями (рисунок 4).

Рисунок 3 – Схема расположения узлов двухмерной сетки для расчета

температурного поля

 

Дифференциальное уравнение плоского температурного поля имеет следующий вид:

вt/Ðx² = вt/Ðy². (3.2)

Интегрирование этого уравнения в общем виде – задача весьма сложная. Она еще более усложняется наличием в пределах поля материалов с различными коэффициентами теплопроводности. Задача значительно упрощается при решении уравнения в конечных разностях. При этом дифференциальное уравнение заменяется системой линейных уравнений, неизвестными в которых будут значения искомой функции в точках поля, лежащих в узлах сетки, составленной из квадратов со стороной принятого размера Δ.

В конечных разностях уравнение имеет вид:

τ_xx +τ_yy =0, (3.3)

где τ_xx,τ_yy – вторые конечные разности функций τ соответственно по x и по y.

Выписывая их подробно, получим (рис. 4)

(τ_x+Δ_,y - 2 τ_x,y + τ_x- Δ_,y)/ Δ² +(τ_{x,y +}Δ - 2 τ_x,y + τ_{x,y -} Δ)/ Δ²=0.

Откуда, решая полученное уравнение относительно τ_x,y, будем иметь:

τ_x,y = (τ_x+Δ_,y + τ_x- Δ_,y +τ_{x,y +}Δ + τ_{x,y -} Δ)/4,

т.е. в однородном поле температура в каждом узле сетки должна равняться средней арифметической температур четырех соседних узлов.

Рассмотрим узел с температурой τ_x,y. Квадрат, в центре которого находится этот узел, получает (или отдает) теплоту в направлении к точкам, расположенным в четырех соседних узлах сетки, имеющих температуры

τ_x+Δ_,y, τ_x-Δ_,y, τ_{x,y +}Δ, τ_{x,y –} Δ. Количество теплоты, которым обменивается с окружающим материалом квадрат, вырезанный вокруг точки x,y, будет зависеть не только от температуры соседних узлов, но и от величины коэффициентов теплопередачи в направлении нитей сетки между точкой x,yи этими точками. Обозначив коэффициенты теплопередачи буквами kс соответствующими индексами, получим:

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температурой τ_x-Δ_,y

Q₁ = (τ_x,y - τ_x-Δ_,y)k _x-Δ; (3.4)

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температуройτ_{x,y +}Δ

Q₂ = (τ_x,y - τ_{x,y +}Δ)k _y+Δ; (3.5)

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температурой τ_x+Δ_,y

Q₃ = (τ_x,y - τ_x+Δ_,y)k _x+Δ; (3.6)

2- количество теплоты, передаваемого в направлении от узла x,y к узлу с температуройτ_{x,y -}Δ

Q₄ = (τ_x,y - τ_{x,y -}Δ)k _y-Δ. (3.7)

 

Из условия теплового баланса сумма этих количеств теплоты должна быть равна нулю, т.е.

(τ_x,y - τ_x-Δ_,y)k _x-Δ = (τ_x,y - τ_{x,y +}Δ)k _y+Δ= (τ_x,y - τ_x+Δ_,y)k _x+Δ=

=(τ_x,y - τ_x,y-Δ)k _y-Δ =0.

 

Решая это уравнение относительно τ_x,y, получим окончательно

τ_x,y = (τ_x-Δ_,y·k _x-Δ + τ_{x,y +}Δ·k _y+Δ + τ_x+Δ_,y·k _x+Δ + τ_{x,y –}Δ·k _y-Δ)/(k _x-Δ + k _y+Δ + k _y+Δ+ k _y-Δ). (3.8)

Это и есть общая формула для вычисления температуры во всех узлах сетки.

Решение следует производить с использованием численного метода, последовательно вычисляя температуру в каждой точке. Расчет производится до тех пор, пока разность между значениями в каждой точке на текущем и предыдущем расчетном шаге не будет превышать заданной точности.

 

Расчет двумерного температурного поля в связи с большим количеством вычислений целесообразно производить с использованием вычислительной техники. Расчет выполняется с использованием программы на кафедре ОВиК.

 

 

Пример

Требуется определить распределение температур и приведенное сопротивление теплопередаче в неоднородной конструкции (рис.4).

Исходные данные

Конструкция состоит из двух материалов: наружной стены здания из кирпичной кладки с коэффициентом теплопроводности 0,81 Вт/(м°С) и перекрытия из железобетонной плиты с коэффициентом теплопроводности 2,04 Вт/(м°С). В расчете приняты следующие условия на сторонах ограждения:

снаружи — t_exl = -30 °С; α_ext = 23 Вт/(м²°С), (5)

внутри — t_int= 20 °С; а_int = 8,7 Вт/(м²°С), (4).

 

Порядок расчета

 

Температурное поле рассматриваемого участка двухмерно, так как распределение температуры во всех плоскостях, параллельных плоскости поперечного сечения конструкции, одинаково.

Расчеты температурного поля делаются методом итерации, следующим образом.

Предварительно задаются некоторыми произвольными значениями температур во всех узлах сетки. Затем по формуле последовательно вычисляют значение температур во всех узлах, заменяя полученными значениями температур, предыдущее до тех пор, пока в каждом узле сетки поля температура не станет удовлетворять соответствующим уравнениям при заданных температурах воздуха с одной и с другой стороны ограждения (рис. 5).

Процесс можно считать законченным только тогда, когда в пределах заданной точности температуры остаются постоянными во всех узлах сетки. Продолжительность расчета зависит от того, насколько правильно были заданы начальные температуры.

 

Рисунок 4

-29,44	-13,684	1,981	18,467
-29,44	-13,697	1,969	18,466
-29,44	-13,626	2,248	18,487
-29,44	-13,659	2,2	18,483
-29,44	-13,758	1,958	18,376
-29,45	-13,978	1,839	18,363
-29,46	-14,8	0,491	17,378
-29,48	-15,16	0,183	17,334
-29,62	-16,252	-3,8	7,552	17,69	19,05	19,39	19,5	19,537	19,55	19,56			19,7
-29,66	-16,523	-4,11	7,4327	17,73	19,14	19,49	19,61	19,652	19,67	19,68			19,8
-28,93	-16,831	-5,47	4,463	12,48	16,05	17,51	18,08	18,291	18,38	18,43			18,8
-28,95	-16,942	-5,59	4,4726	12,61	16,3	17,81	18,4	18,634	18,73	18,78			19,1
-28,91	-17,117	-6,19	3,3321	12,24	16,15	17,71	18,31	18,544	18,64	18,69
-28,92	-17,167	-6,24	3,3472	12,32	16,28	17,87	18,5	18,737	18,83	18,89			19,2
-28,19	-16,737	-5,7	2,8765	17,32	19,13	19,53	19,66	19,708	19,73	19,74			19,8
-28,19	-16,758	-5,74	2,8603	17,33	19,13	19,54	19,67	19,719	19,74	19,75			19,8
-29,47	-15,179	-0,4	17,668
-29,47	-15,2	-0,42	17,664
-29,46	-14,192	1,522	18,402
-29,46	-14,211	1,502	18,399
-29,45	-13,724	2,199	18,485
-29,45	-13,742	2,181	18,482
-29,44	-13,531	2,44	18,507
-29,44	-13,546	2,424	18,504
-29,44	-13,461	2,52	18,513
-29,44	-13,473	2,507	18,511
-29,44	-13,446	2,537	18,514
-29,44	-13,453	2,53	18,513

 

Рисунок 5

Список использованной литературы

1. СП 23-101-2004. Свод правил по проектированию и строительству. Проектирование тепловой защиты зданий. – М.: Госстрой России, 2004.

2. Методические указания по выполнению курсовой работы «Определение тепло- и влагозащитных свойств ограждения» по дисциплине «Строительная теплофизика студентами специальности 290700 «Теплогазоснабжение и вентиляция» Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2010. – 62 с.

3. СНиП 23-02-2003. Тепловая защита зданий / Госстрой России. – М.:ФГУП ЦПП, 2004. – 25 с.

4. ГОСТ 30494-96. Здания жилые и общественные. Параметры микроклимата помещениях. – М.:Изд-во стандартов,1999. – 9 с.

5. СНиП 23-01- 99 (2003). Строительная климатология /Госстрой России.– М.: ГУП ЦПП, 2000. – 58 с.