Миноры и алгебраические дополнения

Минором элемента определителя ( матрицы) -го порядка называется определитель матрицы - го порядка, полученной из матрицы вычеркиванием - строки и - го столбца.

Например, минором элемента матрицы третьего порядка будет определитель второго порядка, полученный вычеркиванием 2-ой строки и 1-го столбца:

.

Каждая матрица -го порядка имеет миноров порядка.

Алгебраическим дополнением элемента определителя (матрицы) - го порядка называется его минор, взятый со знаком :

(2.5)

Например, .

Теорема Лапласа [2]. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения [3]:

(2.6)

(разложение по элементам -ой строки; )

(2.7)

(разложение по элементам - го столбца; )

Пример 4. Вычислить определитель .

Решение: Вычислим определитель разложением по элементам второй строки, т.к. в ней содержится максимальное количество нулевых элементов:

[разложим последний определитель по элементам первой строки]=

.

Определитель треугольного (и, очевидно, диагонального) вида равен произведению элементов главной диагонали.

Пример 5. Вычислить определитель .

Решение: .

Свойства определителей

1⁰. Если определитель содержит нулевую строку (или столбец), то он равен нулю.

2⁰. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число , то определитель умножится на это число.

Замечание: За знак определителя можно выносить общий множитель всех его элементов.

3⁰. При транспонировании определитель не изменяется, т.е. .

4⁰. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5⁰. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

6⁰. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.

7⁰. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е. при .

8⁰. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

9⁰. Сумма произведений привольных чисел на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной матрицы заменой элементов этой строки (столбца) на числа .

10⁰. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , если , и - матрицы - го порядка.

Замечание: Если , то .

Перечисленные свойства определителей позволяют значительно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать его с помощью свойств 1⁰-9⁰, чтобы преобразованный определитель имел строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем найти определитель разложением по этой строке (столбцу).

Пример 6. Вычислить определитель четвертого порядка .

Решение: Преобразуем определитель так, чтобы, в третьей строке все элементы кроме одного обрались в нуль. Для этого умножим, например, элементы третьего столбца на (-4) и на 2 и прибавим их соответственно к элементам 1-ого и 2-ого столбцов. Получим

[разложим полученный определитель по элементам третьей строки]= .

Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников или с помощью теоремы Лапласа, но можно продолжить «упрощение» матрицы. Например, «обнулим» элементы второй строки (кроме одного):

[прибавим к элементам первого столбца матрицы соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на (-13)]= =[к элементам второго столбца прибавим соответственные элементы третьего столбца, умноженные на 4]= . Раскладывая по элементам второй строки и вынося общие множители элементов первой строки и второй строки за знак определителя, получаем

[теперь вынесем за знак определителя общий множитель элементов первого столбца и элементов второго столбца]=

= .

Ранг матрицы

В матрице размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы - го порядка, где , где – меньшее из чисел m и n. Определители таких подматриц называются минорами -го порядка матрицы .

Например, из матрицы можно получить подматрицы первого, второго и третьего порядков.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы обозначается , или .

Минор, который определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Из определения следует:

а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ;

б) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. ;

в) для квадратной матрицы -го порядка тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная.

Пример 7. Найти ранг матрицы и указать один из базисных миноров.

Решение: Так как у матрицы есть ненулевые элементы, то . Найдем какой-нибудь ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например, . Значит, .

Вычислим миноры 3-го порядка, окаймляющие :

[разложим определитель по второй строке]= = ;

[разложим определитель по 1-ому столбцу]= = .

Все миноры 3-го порядка, окаймляющие , равны нулю, следовательно, . Итак, .

Одним из базисных миноров является .

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

К элементарным преобразованиям относятся следующие:

1) отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умножен­ных на любое число.

5) транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преоб­разованиях матрицы.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из другой с помощью эквивалентных преобразований. Обозначается эквивалентность знаком ~.

Из теоремы следует, что эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, тогда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

(3.1)

где .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен , так как имеется минор - го порядка, не равный нулю:

 

Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований покажем на примере.

Пример 8. Найти рангматрицы методом элементарных преобразований.

Решение: 1. Если , то перестановкой строк или столбцов добиваемся того, что . В данном примере поменяем местами, например, первую и вторую строки.

2. Если , то умножая элементы первой строки на подходящие числа (а именно, на 0, 2 и 1) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам второй[4], третьей и четвертой строк, добьемся, чтобы все элементы первого столбца (кроме ) равнялись нулю:

3. Если в полученной матрице (в нашем примере ), то умножая элементы второй строки на подходящие числа (а именно на -3 и -3) и прибавляя полученные числа соответственно к элементам третьей и четвертой строк, добьемся, чтобы все элементы второго столбца (кроме и ) равнялись нулю. Если в процессе преобразований получаются нулевые строки (или столбцы) (как в данном примере), то их следует отбросить:

.

Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит миноры второго порядка, не равные нулю, например, .

Поэтому ранг полученной ступенчатой, а следовательно, и данной матрицы равен 2.

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) , если - квадратная матрица и ;

7) , если и - квадратные матрицы и ;

8) , где - число столбцов матрицы или строк матрицы .

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (или столбцов).

Пусть строки матрицы

.

Строка называется линейной комбинацией строк матрицы, если

(3.2)

где . (Равенство (3.2) понимается в смысле поэлементного сложения строк)

Строки матрицы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация строк равна нулевой строке:

(3.3)

где .

Если равенство (3.3) выполняется тогда и только тогда, когда , то строки матрицы называются линейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и столбцов, через которые линейно выражаются все ее остальные строки (столбцы).

В предыдущем примере число линейно независимых строк матрицы равно 2.

Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

(4.1)

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Если определитель матрицы отличен от нуля , то такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при ) — вырожденной, или особенной.

Присоединенной матрицей к квадратной матрице называется матрица , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам .

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. Причем

(4.2)

где - матрица, присоединенная к матрице .

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1⁰. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица вырожденная и обратной матрицы не существует. Если , то матрица невырожденная и обратная матрица существует.

2⁰. Находим матрицу , транспонированную к .

3⁰. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу : .

4⁰. Вычисляем обратную матрицу по формуле.

5⁰. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения (п. 5° не обязателен).

Пример 9. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение:

1. Найдем определитель матрицы : [разложим по элементам 1-ой строки] =

.

2. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы :

;

;

;

; ;

; ;

; .

3. Запишем матрицу .

4. Найдем матрицу .

5. Сделаем проверку:

;

.

 

Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1⁰. ; 2⁰. ; 3⁰. ; 4⁰. .

Можно показать, что любую невырожденную матрицу с помощью элементарных преобразований только строк или только столбцов можно привести к единичной матрице того же порядка. При этом те же преобразования, совершенный над матрицей в том же порядке, приводят ее к обратной матрице . На этом основан еще один способ нахождения обратной матрицы. Удобно совершать элементарные преобразования над матрицами и одновременно, записывая их рядом через черту.

Пример 10. Найти с помощью элементарных преобразований матрицу, обратную к матрице .

Решение: [умножим элементы первой строки на (-4) и (-7) и прибавим соответственно к элементам 2-ой и 3-ей строк] [к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-2). Затем, элементы второй строки разделим на(-3)] [третью строку разделим на(-9). Затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-2)] [к элементам первой строки прибавим соответственные элементы третьей строки, умноженные на (-3) и второй, умноженной на (-2)] .

Полученная (справа от вертикальной черты) матрица совпадает с найденной в примере 9.

 

 

[1] Саррус Пьер Фредерик (1798-1861) - математик

[2] Лаплас Пьер Симон (1749 – 1827) – французский астроном, математик и физик.

[3] Точнее, данная теорема является частным случаем теоремы Лапласа.

[4] Вторая строка не меняется, т.к. в данном примере