Матрицы
Основные сведения
Матрицей размера (порядка) 
или 
-матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая 
строк и 
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например, 
, а для обозначения элементов матрицы используются соответственно строчные буквы с двойной индексацией: 
, 
, 
,…, где 
- номер строки, 
- номер столбца.
(1.1)
или в сокращенной записи 
, 
.
Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: 
.
Элементы 
образуют главную диагональ матрицы.
Виды матриц
Если 
, то 
- матрица (вектор)-строкa, или просто строка размера .
Если 
, то 
– матрица (вектор)-столбец, или просто столбец размера .
Если 
, то 
- квадратная матрица -го порядка.
Если 
при 
, то 
- диагональная матрица:
.
В частности, при 
матрица 
называется скалярной.
Если 
, то 
(или 
) – единичная матрица - го порядка:
Если 
, то 
(или 
) – нулевая матрица, или нуль-матрица: 
.
Если все элементы квадратной матрицы под (над) главной диагональю равны нулю, то матрица 
называется верхней (нижней) треугольной матрицей:
, 
- верхняя треугольная, 
- нижняя треугольная матрица.
Равенство матриц. Матрицы 
и 
равны, если 
, 
.
Операции над матрицами
1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы 
на число 
называется матрица 
такая, что 
, .
Например, 
.
В частности, 
.
Следствие. За знак матрицы можно выносить общий множитель всех ее элементов.
2.Сложение матриц. Суммой двух матриц и называется матрица 
такая, что 
, , т.е. матрицы складываются поэлементно.
В частности, 
.
3. Умножение матриц. Произведением матрицы 
на матрицу 
называется матрица 
такая, что 
, , т.е. каждый элемент матрицы 
равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы 
на соответствующие элементы - го столбца матрицы 
.
Из определения следует, что для умножения матрицы и должны быть согласованными, т.е. число 
столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы .
Пример 1. Даны матрицы 
и 
. Найти 
и 
.
Решение: Размер матрицы произведения 
.
Вычислим элементы матрицы 
, умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы :
.
Аналогично 
.
Получили, что произведения матриц и существуют, но являются матрицами разных порядков.
Свойства операций над матрицами.
10. 
20. 
30. 
40. 
50. 
60. 
70. 
80. 
Целая положительная степень 
(
) квадратной матрицы есть 
.
По определению 
.
Особенности операций над матрицами.
1. Коммутативный (переместительный) закон умножения в общем случае не выполняется, т.е. 
.
Если 
, то матрицы и называются перестановочными.
В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы на единичную матрицу того же порядка, причем 
.
2. Произведение двух ненулевых матриц либо -я степень ненулевой матрицы может быть нулевой матрицей.
3. Равенство произведений матрицы 
на матрицы и не обязательно означает, что 
, т.е. если и 
, то не обязательно .
4. Если матрицы и - перестановочные, то 
.
Выражение вида 
, где и - соответственно квадратная и единичная матрица одинакового размера; 
- числа, называется полиномом (многочленом) от матрицы . Он представляет собой матрицу, которую можно рассматривать как результат подстановки матрицы вместо переменной 
в обычный многочлен степени : 
.
Если при подстановке матрицы вместо в многочлен 
получается нулевая матрица, то матрица называется корнем многочлена , а сам многочлен - аннулирующим многочленом для матрицы .
Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице 
(или 
), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка. Матрица ( или ) называется транспонированной.
Например, если 
, то 
.
