Особенности операций над матрицами.

Матрицы

Основные сведения

Матрицей размера (порядка) или -матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например, , а для обозначения элементов матрицы используются соответственно строчные буквы с двойной индексацией: , , ,…, где - номер строки, - номер столбца.

(1.1)

 

или в сокращенной записи , .

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения: .

Элементы образуют главную диагональ матрицы.

 

Виды матриц

 

Если , то - матрица (вектор)-строкa, или просто строка размера .

Если , то – матрица (вектор)-столбец, или просто столбец размера .

Если , то - квадратная матрица -го порядка.

Если при , то - диагональная матрица:

.

В частности, при матрица называется скалярной.

Если , то (или ) – единичная матрица - го порядка:

Если , то (или ) – нулевая матрица, или нуль-матрица: .

Если все элементы квадратной матрицы под (над) главной диагональю равны нулю, то матрица называется верхней (нижней) треугольной матрицей:

,

- верхняя треугольная, - нижняя треугольная матрица.

Равенство матриц. Матрицы и равны, если , .

Операции над матрицами

 

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица такая, что , .

Например, .

В частности, .

Следствие. За знак матрицы можно выносить общий множитель всех ее элементов.

2.Сложение матриц. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что , , т.е. матрицы складываются поэлементно.

В частности, .

3. Умножение матриц. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что , , т.е. каждый элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы - го столбца матрицы .

Из определения следует, что для умножения матрицы и должны быть согласованными, т.е. число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы .

Пример 1. Даны матрицы и . Найти и .

Решение: Размер матрицы произведения .

Вычислим элементы матрицы , умножая элементы каждой строки матрицы на соответствующие элементы столбцов матрицы :

.

Аналогично .

Получили, что произведения матриц и существуют, но являются матрицами разных порядков.

Свойства операций над матрицами.

1⁰. 2⁰. 3⁰.

4⁰. 5⁰. 6⁰.

7⁰. 8⁰.

Целая положительная степень () квадратной матрицы есть .

По определению .

 

Особенности операций над матрицами.

1. Коммутативный (переместительный) закон умножения в общем случае не выполняется, т.е. .

Если , то матрицы и называются перестановочными.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы на единичную матрицу того же порядка, причем .

2. Произведение двух ненулевых матриц либо -я степень ненулевой матрицы может быть нулевой матрицей.

3. Равенство произведений матрицы на матрицы и не обязательно означает, что , т.е. если и , то не обязательно .

4. Если матрицы и - перестановочные, то .

Выражение вида , где и - соответственно квадратная и единичная матрица одинакового размера; - числа, называется полиномом (многочленом) от матрицы . Он представляет собой матрицу, которую можно рассматривать как результат подстановки матрицы вместо переменной в обычный многочлен степени : .

Если при подстановке матрицы вместо в многочлен получается нулевая матрица, то матрица называется корнем многочлена , а сам многочлен - аннулирующим многочленом для матрицы .

Транспонирование матрицы – переход от матрицы к матрице (или ), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка. Матрица ( или ) называется транспонированной.

Например, если , то .