Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно производной. Оно имеет вид dy/dx+P(x)y=Q(x) (1), где P(x) и Q(x)—заданные непрерывные функции от х (или постоянные). Решение уравнения (1) в виде произведения двух функций от х: y=u(x)v(x). (2). Одну из этих функций можно взять произвольной, другая определиться на основании уравнения (1). Дифференцируя обе части (2), находим: dy/dx=udv/dx+vdu/dx. Подставляя полученное выражение производной dy/dx в уравнение(1), получим:
u(dv/dx+Pv)+vdu/dx=Q (3). Выберем функцию v такой, чтобы
dv/dx+Pv=0 (4), разделяя переменные и интегрируя получаем:
-lnlC1l+lnlvl = -òPdx, или v(x)=C1e-òPdx. Подставляя найденное значение v(x) в уравнение(3), учитывая dv/dx+Pv=0, получим:v(x)du/dx=Q(x), или du/dx=Q(x)/v(x), откуда u=òQ(x)dx/v(x)+C, окончательно подставляя u и v в (2), получим,y=v(x)òQ(x)dx/v(x)+Cv(x). Уравнение Бернулли: Уравнение вида dy/dx+P(x)y=Q(x)yn (1), где P(x) и Q(x)—заданные непрерывные функции от х (или постоянные), а n¹0;1. Это уравнение приводится к линейному следующим преобразованием. Разделив обе части на yn, получим: y-ndy/dx + Py -n+1=Q (2). Сделаем, далее, замену: z = y -n+1. Тогда dz/dx =(-n+1)y-ndy/dx. Подставляя эти значения в уравнение(2), имеем линейное уравнение: dz/dx +(-n+1)Pz = (-n+1)Q. Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение y -n+1, получим общий интеграл уравнения Бернулли.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида y(n)=f(x,y,y’,…y(n-1)). Для данного д.у. можно сформулировать задачу Коши. Найдём общий интеграл этого уравнения. Интегрируя по x левую и правую части и принимая во внимание, что y(n)= (y(n-1))’, получим:
, где x0-любое фиксированное значение х, а С1-постоянная интегрирования. Интегрируя еще раз получим:
Продолжая далее, получим после n-интегрирований, выражение общего интеграла: 
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: yx=x0 = y0, y’x=x0=y’0…,y(n-1) x=x0 =y0 (n-1), достаточно представить, что: Сn=y0, Cn-1=y’0,…, C1=y0 (n-1).
Линейно зависимые и независимые системы функций и фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения.
Пусть дано однор. лин. д. у. y’’+ay’+by=0. Будем искать реш. в виде y=ekx тогда y’=k* ekx y’’=k2ekx k2ekx+akekx+bekx=0 т.к. ekx ≠0 получим k2+ak+b=0 – характеристическое уравнение, корни уравнения – характеристические числа. 1)D>0 два решения y1= ek1x y2=ek2x Тогда ф-ция y(x)=c1y1+c2y2 также явл. реш. о.л.д.у. Наз. общим реш. 2)D=0 Одно реш. y1(x)=eax/2 Рассмотрим ф-цию y2=x eax/2 она также явл. реш. о.л.д.у. Тогда y=c1y1+c2y2- общее реш. 3)D<0 два решения y1=eαx(cosβx+isinβx) y2= eαx(cosβx+isinβx) y=c1y1+c2y2 – общее реш.
Теоремы о структуре общих решений однородного и неоднородного линейных дифференциальных уравнений.
Комплексные числа, основные понятия и операции над ними в алгебраической и тригонометрической формах. Показательная форма комплексного числа.
x+iy = Z – комплексное число,где x и y-действ. числа, i-мнимая единица, определяемая равенством i=√-1, или i2=-1. z1=x+iy, z2=x-iy, z2-сопряженное число к z1. Геометрический смысл: комплексное число – точка на плоскости или радиус-вектор.
Z1 ± Z2 = (x1 ± x2)+i(y1 ± y2); Z1∙Z2 = (x1∙x2 – y1∙y2) +i(x1∙y2 + y1∙x2);
Свойства:
Z = (x+i0) = x – действительное число Z = (0+i1) = i – комплексная еденица.
Z=r(cosφ+isinφ)-тригонометрическая форма записи.
