Признаки сходимости положительных рядов. Признаки сравнения.

Пусть даны 2 знакополож. ряда: ∑a_n, ∑b_n. 1)Признак сравнения. Если для всех членов ряда вып. усл. a_n ≤ b_n то оба сход. или расх. 2)признак сравн. lim a_n/ b_n=k k≠0 k≠∞ Оба сход. или расх. Если k=0 или =∞ то неудачно выбрали ряд для сравн

 

5.Интегрирование общих рациональных выражений. Метод неопределенных коэффициентов.

Интегрирование общих рациональных выражений.

Проинтегрируем P_n(x)dx Q_m(x) 1. Выделить целую часть P_n(x)dx = P_n1(x)+ P_n2(x) Q_m(x); Q_m(x), n₂<m 2. Разложить знаменатель в произведение линейных и квадратичных сомножителей. Q_m(x)=bm(x-x₁)…(x-x_c)(x²+p₁x+q₁) (x²+p_sx+q_s) 3. Дробный член преобразуется в сумму простых дробей. P_n2(x)dx = A₁ +…+A_c + B₁x+C₁; Q_m(x) x-x₁ x-x_c x²+p₁x+q_1; 4. Вычислить интегралы целых и дробных частей.

Метод неопределенных коэффициентов. Метод неопределенных коэффициентов заключается в разложении знаменателя дроби на многочлены. При этом дробь записывается в новом виде как частное многочлена в знаменателе и коэффициента в числителе перед xⁿ. Причем степень х в числителе на n-1 меньше, чем в знамена­теле. Дроби преобразуются, находятся коэффициенты, и обращается в табличный интеграл.

 

6.Интегрирование простейших иррациональных функций. Подстановки Эйлера.

Подстановки Эйлера.

Эти подстановки применяются для интегралов вида òR(x, Öax²+bx+c)dx. 1. Первая подстановка Эйлера применима при а>0. Полагаем, что Öax²+bx+c+xÖa=t (1), тогда ax²+bx+c=(t-xÖa)². Члены, содержащие x², взаимно уничтожаются, и x (а значит, и dx) выражается через t рационально. Подставив это выражение в (1), найдем рациональное выражение и для радикала Öax²+bx+c. 2. Вторая подстановка Эйлера. Öax²+bx+c=tx+Öc. Она применима при с>0. Возводя в квадрат и деля на х, получаем рациональное выражение х через t; затем равенство, написанное выше, дает рациональное выражение радикала. 3. Третья подстановка Эйлера применима всякий раз, когда ax²+bx+c имеет действительные корни, и, в частности, при а<0. Пусть корни будут x₁, x₂. Тогда полагаем, что Öa(x- x₁) = t/Öx- x₂. Откуда находим рациональное выражение х через t: x= x₂t²-ax₁/t²-a. Рациональное выражение радикала находим так: Öax²+bx+c=Öa(x- x₁)(x- x₂)=Öa(x- x₁)(x- x₂)²=t|x- x₂|

Öx- x₂

Интегрирование прост-х иррациональных ф-ций.

1. òR(x; ^mÖ(ax+b)/(cx+d) dx=òR(t)dt=

t= ^mÖ(ax+b)/(cx+d)

x=(b-t^md)/(ct^m-a)

dx=[P_k(t)/(ct^m-a)²]dt

=R b-t^md; t P_k(t) dt

ct^m-a ct^m-a

2. òR(x;Öax²+bx+c)dx=òR(t)dt=

D<0, Öax²+bx+c=t-xÖa, x=(t²-c)/(b+2tÖa),

dx= t²-c ` dt

b+2tÖa

Замечание: Если D>0, то ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂), то Öax²+bx+c=| x-x₂|Ö[a(x-x₁]/(x-x₂)

 

8. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла: площадь криволинейной трапеции.

Рассм зад о выч S плоской фигуры огранич граф. Ф-ции у=f(x) осью ох и вертик прям х=а и х=в. эта пл-я ф наз криволин-й трапец-й. Для выч разабьем отр ав произв-м образом т х₀, х₁,…, х_п, причем х₀=а, х_п=в. провед через т деления верт прям до п с гр ф. Пусть площадь тарап = S, тогда S=∑ S_i. Для выч S_i на каждом отр [x_i-1; x_i] выб произв обр т x’_i-1 и будем считать, что S_i ≈ ∑ f(x’_i)(x_i+1- x_i) (1). Для того, чтобы прибл-ное рав-во (1) было более точное, необх разделить АВ на большее кол-во частей, чтобы ∆x_i = x_i+1 - x_i ум-сь. Пусть λ = max |x_i+1-x_i|. Тогда S = lim(λ→0) ∑ f(x’_i)∆x_i (2)

 

 

7.Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование тригонометрических функций.

1. Для вычисления интегралов вида òcos²ⁿ⁺¹xdx; ò sin²ⁿ⁺¹xdx, где n – целое положи­тельное число; удобно ввести вспомогательную функцию sinx в первом случае и cosx – во втором. Для четных степеней sinx или cosx правило 1 не ведет к цели (см. пр-ло 2). 2. Для вычисления интегралов вида òcos²ⁿxdx; ò sin²ⁿxdx удобно пользоваться формулами cos²x=(1+cos2x)/2; sin²x=(1-cos2x)/2 и вводить вспомогательную функцию cos2x. 3. Для вычисления интегралов вида òcos^mx*sinⁿxdx, где, по крайней мере, одно из чисел m, n – нечетное, удобно ввести вспомогательную функцию cosx (если m нечетно) или sinx (если n нечетно). Когда m, n – четные, правило 3 не подходит (см. пр-ло 4). 4. Для вычисления интегралов вида òcos^mx*sinⁿxdx, где m и n – четные числа, удобно пользоваться формулами, приведенными в правиле 2 и формулой sinx*cosx=sin2x/2. 5.Для вычисления интегралов вида òsin mx*cos nx dx; òsin mx*sin nx dx; òcos mx*cos nx dx удобно пользоваться преобразованиями sin mx*cos nx=1/2[sin(m-n)x+sin(m+n)x] sin mx*sin nx=1/2[cos(m-n)x-cos(m+n)x] cos mx*cos nx=1/2[cos(m-n)x+sin(m+n)x] 6.Для вычисления интегралов вида òtgⁿxdx; òctgⁿxdx (n – целое число, >1) удобно выделить множитель tg²x (или сtg²x).

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Рассмотрим интеграл вида òR(sinx, cosx)dx. Покажем, что этот интеграл с помощью подстановки tg(x/2)=t всегда сводится к интегралу от рациональной функции. Выразим sinx и cosx:

sinx=2sin(x/2)*cos(x/2) =2sin(x/2)*cos(x/2) =2tg(x/2) = 2t

1 sin²(x/2)+cos²(x/2) 1+tg²(x/2) 1+t²

cosx=cos²(x/2)-sin²(x/2)=cos²(x/2)-sin²(x/2)=1-tg²(x/2) = 1-t²

1 cos²(x/2)+sin²(x/2) 1+tg²(x/2) 1+t²

Далее, x=2arctgt, dx=2dt/(1+t²) Получили интеграл от рациональной функции: òR(sinx, cosx)dx=òR(2t/(1+ t²), (1- t²)/(1+ t²))2dt/1+ t².

 

9. Понятие опред-го интег-ла: Пусть на [a;в] зад-на ф-я y=f(x). Пусть x₀=а x₁<x₂<x₃<…<x_п=в. Dx_i=x_i+1-x_i; x_iÎ[x_i;x_i+1]. Рассмот-м сумму S=åf(x)Dx_i (1). Сумма (1) наз-ся интегральной суммой. Пусть l=мах½Dx_i½, пусть сущ-ет конеч-й предел суммы вида (1) при l®0, независ-й ни от способа разбиения отрезка [a;в] точками x_i, ни от выбора т-ки x_i, тогда этот предел наз-ся определённым интегр-м от ф-и y=f(x) по [a;в] и обознач-ся: _а^вò f(x)dx. Сво-ва опред-х интегр-ов: Пусть на [a;в] зад-на ф-я y=f(x), для кот-ой сущ-ет _а^вò f(x)dx, где а- нижний предел, а в- верхний, тогда: 1) _а^вò f(x)dx=0. 2) _а^вò (f1(x)+f2(x))dx= _а^вò f1(x)dx+ _а^вò f2(x)dx. 3) _а^вò кf(x)dx=к _а^вò f(x)dx, к=const. 4) f(x)>0, то _а^вò f(x)dx>0. 5) _а^вò f(x)dx= -^а_вò f(x)dx. 6) _а^вò f(x)dx= _а^сò f(x)dx+ _с^вò f(x)dx, где сÎ[а;в]. Теорема о среднем значении определенного интеграла. Определенный интеграл равен произведению длины промежутка интегрирования (a,b) на значение подынтегральной функции в некоторой точке x промежутка (a,b):

_a^bòf(x)dx=(b-a)f(x) (a£x£b)

Доказательство: пусть смещается прямая KL от положения CD к EF. В начале движения S_AKLB меньше чем _a^bòf(x)dx, в конце – больше. В некоторый промежуточный момент должно иметь место равенство AKLB= _a^bòf(x)dx. Основанием прямоугольника AKLB служит AB=b-a, а высотой - NM, соотв. Точке N(x) промежутка AB. Значит (b-a) f(x)=_a^bòf(x)dx.