|
Если известен график функции 
, то с помощью некоторых преобразований можно построить графики более сложных функций.
1. График функции 
получается параллельным переносом графика 
вдоль оси 
на 
.
Значение функции 
при 
совпадает со значением при 
.
2. График функции 
получается параллельным переносом графика функции вдоль оси 
на 
.
3. График функции 
получается растяжением графика вдоль оси в 
раз при 
и сжатием вдоль этой оси в 
раз при 
; если 
, то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси .
4. График функции 
получается сжатием графика вдоль оси в раз при и растяжением вдоль этой же оси в раз при ; если , то к этому преобразованию добавляется зеркальное отражение относительно оси .
5. График функции 
получается из графика функции следующим преобразованием: часть графика, лежащая выше оси , остается на месте; часть графика, лежащая ниже оси , зеркально отражается относительно оси .
6. График функции 
получается из графика следующим преобразованием: при 
график не изменяется; при 
график заменяется на
зеркальнoе отражение относительно оси части графика, соответствующей .
| пп 10. Теоретические Упражнения | ||
| ТУ ПП 10. №1. | Пользуясь стандартными символами, запишите определения четности, нечетности, периодичности, ограниченности и монотонности функций. | |
| ТУ ПП 10. №2. | Приведите пример неограниченной функции, непрерывной на интервале.
РЕШЕНИЕ:
  непрерывна на интервале (0, 1),ноне ограничена.
|
| ТУ ПП 10. №3. | Справедливо ли утверждение о том, что непрерывная на  функция достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней?
РЕШЕНИЕ:
Для  , значения  и  - не достигаются на интервале  .
| нет |
| ТУ ПП 10. №4. | Покажите, что функция y = x 2 непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси.
РЕШЕНИЕ:
Действительно, числовые значения f (x 0) = x 02 и f (x 0 + D x) = (x 0 + D x)2 порождают приращение функции вида
D y = (x 0 + D x)2 – x 02 = x02 + 2 x 0 × D x + D x 2 – x 02 = 2 x 0 × D x + D x 2.
Используя 2-е определение непрерывности, имеем
Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.
| |
| ТУ ПП 10. №5. | Покажите, что функция y = sin x непрерывна в произвольной точке x0 вещественной оси.
РЕШЕНИЕ:
Действительно, числовые значения f (x 0) = sin x 0 и f (x 0+D x) = sin(x 0+D x) порождают приращение функции вида
D y = sin(x 0 + D x) - sin x 0 = 2sin(D x /2)×cos(x 0 + D x /2).
В теории пределов было доказано, что  поэтому  Используя 2-е определение непрерывности, имеем:
 Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.
|
| ТУ ПП 10. №6. | Докажите, что 2-е определение непрерывности равносильно 1-му определению.
РЕШЕНИЕ:
Используя арифметические свойства предела, получаем
По определению приращения D x = x – x 0,
поэтому 
и тем самым 
Последнее равенство и означает 1-е определение непрерывности.
| |
| ТУ ПП 10. №7. | Покажите, что  т.е. знак непрерывной в точке x 0 функции y = f (x) и знак предела перестановочны. Вычислите предел: 
РЕШЕНИЕ:
 поэтому 1-е определение непрерывности может быть записано в виде
Функция y = sin x непрерывна в любой точке, поэтому
|
| пп 10. ФУНКЦИИ |
| п/п | Задание | Ответ |
| ПП 10. №1. | Укажите все номера целых чисел данного множества
1)  , 2)  , 3)  ,
4)  ,5)  .
РЕШЕНИЕ:
1) =  =  =  =
=49-2=47 
2) = 
3) для перевода периодической десятичной дроби в рациональную сделаем следующее: обозначим периодическую дробь через x, умножим ее на 100 и вычтем из полученного равенства исходное, тем самым получим
 , =  ,
4) =  =  =  . 5) =  .
| 1), 3), 5) | |
| ПП 10. №2. | Найдите область определения и множество
значений функции  .
ООФ находим из условия  ,  .
ОЗФ находим из условий: 
Допустимые значения параметра  удовлетворяют неравенствам:
 .
|  ,
| |
| ПП 10. №3. | Изобразите график функции
РЕШЕНИЕ:
На полуинтервале [-1, 1) функция имеет вид смещенной параболы, ветви которой направлены вниз. Вне этого полуинтервала f(x) = | x | – 1, т.е. y = | x |опущенный на 1 вниз стандартный график
| 
| |
| ПП 10. №4. | Изобразите график функции
 - знак  , 
| 
| |
| ПП 10. №5. | Функция Дирихле 
 - целая часть (наибольшее целое, не превосходящее )
 ,
 ;
эта функция может быть задана в виде
 .
| 
| |
| ПП 10. №6. | Найдите  , если  ,  . Вычислите  .
 ;  , значит,  ;  .
| ; .
| |
| ПП 10. №7. | Вычислите односторонние пределы функции  в точке x = 1.
В точке x = 1 функция не определена, потому что знаменатель равен нулю. По определению модуля 
Левый предел: 
Правый предел: 
Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода.
| 
| |
| ПП 10. №8. | Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция 
РЕШЕНИЕ:
В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел  следствием которого является предел  Стремление х ®0 произвольно, поэтому  Тем самым доказано, что  но в самой точке х0 = 0 функция не определена. Следовательно, выполняется определение точки устранимого разрыва.
| точка устранимого разрыва | |
| ПП 10. №9. | Вычислите односторонние пределы  .
РЕШЕНИЕ:
 ,  . Функция имеет в точке x = 1 разрыв 2-го рода.
| 
| |
| ПП 10. №10. | Докажите (найдите  ), что функция  непрерывна в точке  , если  ,  .
РЕШЕНИЕ:
По определению непрерывности требуется доказать, что 
По определению предела требуется доказать, что
      .
1). Возьмем произвольное 
2). Так как   Положим 
3). Возьмем . Тогда если  то  ч.т.д.
| ||
| ПП 10. №11. | Определите точки разрыва функции
 и исследовать характер разрыва.
РЕШЕНИЕ:
Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва.
Левый предел: 
Правый предел: 
Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.
| разрыв 1-го рода |
| ПП 10. №12. | Определите точки разрыва функции  и исследуйте их характер.
РЕШЕНИЕ:
Функция не определена, следовательно, разрывна в точке х = 0.
Вычислим левый предел, учитывая, что показательная функция y = ax, a > 1, стремится к нулю при х ® - ¥. Кроме того, функция y = 1/ x является бесконечно большой, потому что х ®0 и х < 0. Итак, 
Вычислим правый предел, учитывая, что показательная функция y = ax, где a > 1, стремится к бесконечности при х ® +¥. Кроме того, функция является бесконечно большой, потому что х ®0 и х > 0. Итак, 
Поскольку правый предел бесконечен по определению, то точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода.
| х = 0 – точка разрыва 2-го рода. |
| ПП 10. №13. | Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция
РЕШЕНИЕ:
 .
 Односторонние пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой устранимого разрыва, устранить который можно доопределив функцию: 
| устранимый разрыв |
| ПП 10. №14. | Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0? РЕШЕНИЕ: Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных на числовой оси функций y = sinx и y = -x + 1. легко установить, что функция меняет знак, поскольку f(0) = 1, а f(2p) = -2p + 1 < 0. Следовательно, функция равняется нулю внутри отрезка [0, 2p], то есть имеется по крайней мере один корень исходного уравнения. | да |
| ПП 10. №15. | Исследуйте поведение функции  в точке  . РЕШЕНИЕ:
В точке функция не определена,
  является точкой устранимого разрыва.
Чтобы функция стала непрерывной в точке , положим 
Новая, доопределенная функция  будет непрерывна на новой области определения – всей числовой оси.
| |
| ПП 10. №16. | Принимает ли функция  значение  внутри отрезка [-2, 2]?
РЕШЕНИЕ:
Функция является непрерывной на [-2, 2]. Кроме того, на концах отрезка функция принимает числовые значения f (-2)=1, f (2) = 5.
Так как  то найдется точка c Î (-2, 2) такая, что 
| да |
| ПП 10. №17. | Найдите функцию, обратную функции  при  .
РЕШЕНИЕ:
 ,  ,  .
При функция монотонно убывает, значит, существует обратная. Выразим  через , учитывая, что  . Получим:  ,  . Поменяем местами и .  ,  ,  .
Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой  .
| 
|
