ПП 10. Функции. Непрерывность
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Числовые множества
– множество натуральных чисел 
;
– множество целых чисел 
;
– множество рациональных чисел вида 
;
– множество иррациональных чисел 
.
множество действительных (вещественных) чисел,.
носится к установлению соответствия между элементами двух множеств.
Если задано правило 
, по которому каждому элементу 
из множества 
поставлен в соответствие единственный элемент 
из множества 
, то говорят, что на множестве задана функция 
, 
, 
. Множество называется областью определения функции (ООФ) и обозначается 
. Множество изменения функции 
называется областью значений функции (ОЗФ) и обозначается 
.
При нахождении области определения следует помнить, что:
; 
; 
;
; 
.
При аналитическом задании функция может быть определена:
1) явно - уравнением вида ;
2) неявно - уравнением вида 
; Уравнение 
может определять не одну, а несколько функций вида 
. Так, уравнение 
определяет две функции: 
и 
.
3) параметрически – 
.
Функция 
с симметричной относительно нуля областью определения 
называется четной, если для любого выполняется равенство 
.
Из определения четной функции следует, что ее график симметричен относительно оси ординат. Например, функции 
, 
являются четными, их графики имеют вид:
Функция с областью определения называется нечетной, если для любого выполняется равенство 
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции 
и 
являются нечетными, их графики имеют вид:
Функция 
не является ни четной, ни нечетной, так как 
.
Функция называется периодической, если существует такое число 
, что для любого выполнены условия: 1) 
;
2) 
.
Число 
называется периодом функции .
Если 
– период, то 
тоже является периодом:
,
а также
, 
, 
.
Наименьший положительный период называется основнымпериодом данной периодической функции.
Основной период функций 
, 
равен 
, а функций 
, 
равен 
. Период функций 
и 
равен 
. Функция 
основногопериода не имеет, так как 
при любом 
, в том числе и при 
.
Функция 
называется ограниченной на множестве 
, если
.
Например, функция 
ограничена на всей числовой оси; ограничена на любом промежутке конечной длины, но не ограничена на всей области определения 
.
Функция 
называется ограниченной сверху (снизу) на множестве , если 
; (
).
Например, ограничена снизу на всей области определения 
.
Точная верхняя (нижняя) грань множества 
значений функции на 
называется точной верхней (нижней) гранью функции на и обозначается 
(
).
Например, 
, 
.
Если число 
(
) принадлежит множеству значений функции на , то оно называется наибольшим (наименьшим) значением на 
и обозначается 
(
).
Например, 
, 
не существует.
Пусть определена на множестве и множество .
Если 
:
- возрастающая на ;
- неубывающая на ;
- убывающая на ;
- невозрастающая на .
Все четыре типа в совокупности называются монотонными на , а возрастающие и убывающие - строго монотонными на .
Обратная функция. Сложная функция
Функция , , обратима, если каждое свое значение она принимает один раз, то есть для каждого существует только одно значение такое, что .
Для нахождения обратной функции 
нужно:
1. выразить через 
;
2. поменять местами и .
Множество значений обратной функции совпадает с областью определения функции , а область определения обратной функции совпадает с множеством значений функции .
Графики функций и 
симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов, то есть прямой 
.
Если и 
- функции одного переменного, то функция 
, определенная соотношением 
на области 
, называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и 
и обозначается 
.
Основные элементарные функции
1. Степенные функции
1.1.  .
| ||
| 
| |
1.2.  ,  .
| ||
| 
| |
1.3.  .
| ||
| 
| |
1.4.  .
| ||
| 
| |
2. Трансцендентные функции
2.1. Показательная
 .
|
2.2. Логарифмическая  .
|
|
|
| 3. Тригонометрические функции | |
3.1.  
| 3.2. 
|
| 
|
3.3.  
| 3.4.  .
|
| 
|
.
| 4. Обратные тригонометрические функции | |
4.1.  .
 .
| 4.2.  .
 .
|
| 
|
4.3.  ,
 .
| 4.4.  .  .
|
| 
|
 ,  ,  .
| |
| 5. Гиперболические функции | |
5.1. Гиперболический синус
 .
| 5.2. Гиперболический косинус
 .
|
| 
|
5.3. Гиперболический тангенс
 .
| 5.4. Гиперболический котангенс
 .
|
| 
|
, 
,
, 
.
Непрерывность функции
Определение 1.
Пусть функция 
определена на множестве 
и пусть точка 
. Функция называется непрерывной в точке 
, если 1) 
, 2) 
, 3) 
.
Функция 
называется непрерывной в точке 
,если по любому 
можно указать такое 
, что 
,если 
.
Определение 2.
Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в точке и при этом 
, то есть бесконечно малым приращениям аргумента соответствуют бесконечно малые приращения функции.
Определение 3.
Функция называется непрерывной в точке , если функция определена в точке , существуют односторонние пределы 
и при этом 
.
Функция называется непрерывной в точке слева, если функция определена в точке и существует односторонний предел 
и при этом 
.
Функция называется непрерывной в точке справа, если функция определена в точке и существует односторонний предел 
и при этом 
.
Функция, непрерывная в любой точке множества , называется непрерывной на множестве .
