Завдання до контрольної роботи, а також приклади розв’язання подібних задач

Для студентів заочної форми навчання зі спеціальності „Інформатика”.

1 Вирішити методом послідовних наближень інтегральне рівняння Фредгольма другого роду (з точністю 10%):

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5 .

1.6 .

1.7 .

1.8 .

1.9 .

1.10 .

1.11.

1.12 .

1.13 .

1.14 .

1.15 .

1.16 .

1.17 .

1.18 .

1.19 .

1.20 .

1.21 .

1.22 .

1.23 .

1.24 .

1.25 .

1.26 .

1.27 .

1.28 .

1.29 .

1.30 .

1.31 .

1.32 .

1.33 .

2 Вирішити методом послідовних наближень інтегральне рівняння Вольтерра другого роду з точністю 10% (там, де не вказано окремо, інтервал ізоляції кореня ):

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

2.5 .

2.6 .

2.7 .

2.8 .

2.9 .

2.10 .

2.11 .

2.12 .

2.13 .

2.14 .

2.15 .

2.16 .

2.17 .

2.18 .

2.19 .

2.20 .

2.21 .

2.22 .

2.23 .

2.24 .

2.25 .

2.26 .

2.27 .

2.28 .

2.29 .

2.30 .

2.31 .

2.32 .

2.33 .

 

Приклад 1

Розв’язати з точністю до 10% інтегральне рівняння Фредгольма 2-го роду методом послідовних наближень:

.

Перевіримо, чи є інтегральний оператор стискуючим, тобто, чи виконується умова:

,

де ; ; .

Знаходимо .

,

.

Таким чином, є критичною точкою і .

На границі області

.

,

.

,

,

– при немає критичних точок.

.

Таким чином, . Маємо: .

Ми можемо застосувати метод послідовних наближень.

 

Нехай , звідки

.

.

Для обчислювання необхідної кількості ітерацій, які потрібно зробити щоб досягти завдану точність обчислень, скористаємося формулою:

де гіпотетичний точний розв’язок,

наближення,

Маємо:

При маємо:

Тобто буде наближеним розв’язком вихідного інтегрального рівняння Фредгольма з точністю 0,1.

Знайдемо :

Відповідь:

Приклад 2

Розв’язати інтегральне рівняння Вольтерра 2-го роду методом послідовних наближень:

на з точністю 10%.

Оператор Вольтерра є стискуючим завжди, тому ми можемо застосувати метод послідовних наближень.

Нехай , тоді

;

;

– критичних точок немає.

На кінцях відрізку :

,

.

Таким чином, .

Для оцінки кількості наближень, необхідних для виконання заданої точності обчислень скористаємося формулою:

Маємо

при

Тобто буде розв’язком вихідного інтегрального рівняння Вольтерра з точністю 10%.

Знайдемо послідовно та :

,

 

 

 

 

Відповідь:

Правила виконання та оформлення

Контрольних робіт

При виконанні контрольних робіт необхідно суворо дотримуватися нижчезазначених правил. Роботи, які виконані без урахування цих правил, не зараховуються і повертаються студенту на доопрацювання.

1 Кожна контрольна робота повинна виконуватися в окремому зошиті в клітинку чорнилами темного кольору (крім червоного). Необхідно залишати поля шириною 3-4 см для зауважень рецензента.

2 На обкладинці зошита необхідно чітко зазначити: назву дисципліни, назву навчального закладу, факультет, групу, прізвище, ім'я та по батькові, номер залікової книжки і номер варіанта. У кінці роботи слід поставити дату її виконання та особистий підпис.

3 Робота має містити всі задачі, які зазначені у завданні строго за своїм варіантом. Контрольні роботи, які містять не всі задачі або задачі не свого варіанта, не зараховуються.

4 Перед розв'язуванням кожної задачі необхідно повністю записати її умову.

5 Розв'язання задач слід викладати докладно, акуратно, пояснюючи і обґрунтовуючи усі дії за ходом розв'язання.

6 Після отримання прорецензованої роботи, як зарахованої, так і незарахованої, студент повинен виправити усі відмічені рецензентом помилки та недоліки і записати їх після рецензії під заголовком "Виправлення" у цьому ж зошиті.

За необхідності можна виправлення записати в іншому зошиті та підклеїти його до основного.