- Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
- Перестановка. Определитель n -го порядка и его свойства.
- Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам любой строки (или столбца).
- Определитель произведения матриц. Определение обратной матрицы. Доказать теорему существования и единственности обратной матрицы.
- Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения АХ=В, YA=B.
- Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия. Матричная запись. Правило Крамера.
- Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Методы нахождения ранга матрицы.
- Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- Теорема Кронекера - Капелли.
- Алгоритм решения систем линейных неоднородных уравнений.
- Однородные системы уравнений. Теорема о существовании ненулевых решений. Фундаментальная система решений.
- Структура общего решения однородной и неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
- Линейные пространства. Определение. Примеры.
- Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Свойства.
- Размерность линейного пространства. Базис.
- Координаты вектора в данном базисе. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- Матрица перехода от одного базиса к другому. Связь между координатами вектора в разных базисах.
- Подпространства линейных пространств. Примеры. Теорема о размерности подпространства.
- Линейные преобразования линейных пространств. Определение. Примеры.
- Матрица линейного преобразования. Связь между матрицами и линейными преобразованиями.
- Сложение линейных преобразований.
- Умножение линейного преобразования на число.
- Умножение линейных преобразований.
- Связь между матрицами линейного преобразования в разных базисах.
- Обратные преобразования.
- Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Теорема о приведении линейного преобразования к диагональному виду.
- Теорема о линейной независимости собственных векторов линейного преобразования.
- Нахождение собственных векторов и собственных значений линейного преобразования.
- Инвариантность характеристического многочлена линейного преобразования.
- Теорема о приведении матрицы линейного преобразования к диагональному виду в случае простого спектра.
- Клетка Жордана. Матрица Жордана.
- Векторы. Линейные операции над векторами.
- Базис. Координаты вектора. Линейные операции в координатной форме.
- Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
- Системы координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат.
- Выражение координат вектора через координаты начала и конца. Деление отрезка в данном отношении.
- Скалярное произведение, его свойства. Условие перпендикулярности двух векторов.
- Скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Расстояние между двумя точками. Длина вектора. Угол между векторами.
- Векторное произведение двух векторов. Его свойства. Условие коллинеарности двух векторов.
- Векторное произведение двух векторов в координатной форме.
- Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл, свойства.
- Смешанное произведение в координатной форме (трех векторов). Условие компланарности трех векторов.
- Преобразование прямоугольной системы координат на плоскости. Перенос начала. Полярная система координат и ее связь с прямоугольной системой.
- Понятие об уравнениях линий и поверхностей. Уравнение окружности и сферы.
- Различные виды уравнений прямых на плоскости: общее, с угловым коэффициентом, по точке и угловому коэффициенту, по двум точкам, в отрезках.
- Нормальное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду. Расстояние от точки до прямой.
- Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности.
- Векторно-параметрическое уравнение плоскости. Параметрические уравнения плоскости.
- Плоскость как поверхность 1-го порядка. Нормальное уравнение плоскости.
- Общее уравнение плоскости, приведение общего уравнения к нормальному
виду.
- Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, векторное уравнение плоскости. Связка плоскостей.
- Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках.
- Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространств. Каноническое уравнение прямой.
- Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду.
- Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых.
- Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности прямой и плоскости.
- Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.
- Канонические уравнения эллипса и параболы. Исследование их форм.
- Каноническое уравнение гиперболы, исследование ее формы, асимптоты.
- Цилиндрические и конические поверхности.
- Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды.
- Поверхности вращения.
