Система, обладающая потенциальной и кинетической энергией с учётом рассеяния

В данном случае, который является наиболее общим, все три составляющие энергии можно отнести к внутренней энергии системы. Тогда их сумму можно считать полной энергией системы, что позволяет использовать уравнения Лагранжа в форме (8.6). Существует и другой путь: обозначая оператором p, можно представить силу символическим операторным равенством:

. (8.15)

С уравнением (8.15) можно действовать как с алгебраическим и поэтому легко найти отношение

. (8.16)

Таким образом

. (8.17)

Коэффициент имеет смысл эквивалентной обобщенной упругости, как это следует из сопоставления с уравнениями (8.8).

Являясь операторной функцией , формально может заменить коэффициенты с_ik в уравнениях (8.8), делая их пригодными для исследования различных реальных систем.

Коэффициенты , являются символическими, так как они содержат оператор, и не могут служить для вычисления энергии системы. Однако их с успехом возможно применить для нахождения сил, если воспользоваться системой уравнений, аналогичных уравнениям (8.8), т.е.

 

. (8.18)

 

Сопоставляя равенства (8.14) и (8.17), легко определить связь между их коэффициентами. Действительно, равенство (8.14) можно переписать так:

 

. (8.19)

Сравнивая этот результат с равенством (8.14), находим

 

. (8.20)

Очевидно, аналогичное равенство имеет место и для коэффициентов :

. (8.21)

Уравнения (8.13), имеющие в качестве коэффициентов обобщенные сопротивления , аналогичны по форме тем уравнениям, которые получаются при анализе электрических цепей методом контурных токов, поскольку для любой электрической цепи со многими степенями свободы справедлива система уравнений следующего вида:

,

где E _k - электродвижущая сила, действующая в контуре k;

z _kk - собственное сопротивление контура k;

z _ik - взаимное сопротивление контуров i и k;

I _k - контурный ток.

 

Механические двухполюсники

Механические двухполюсники поступательного движения

Тип двухполюсника	Обозначение	Сила	Скорость
Источник силы		Р	-
Источник скорости		-	V
Масса	m
Механическое сопротивление	r
Жесткость	c

Механические двухполюсники вращательного движения

Тип двухполюсника	Обозначение	Момент	Угловая скорость
Источник вращающего момента		М	-
Источник угловой скорости		-
Момент инерции
Момент сопротивления	r
Жесткость на кручение	s

 

 

Электромагнитная инерция

Рассмотрим случай движения свободной материальной точки, для которой характерно сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения то есть количество движения остается постоянным. Если под действием внешних сил изменяется количество движения точки, то, вводя в рассмотрение силы инерции, равные и противоположные внешним силам, мы можем рассматривать эти силы инерции как препятствующие изменению количества движения.

 

. (7.1)

 

Направление сил инерции противоположно направлению скорости.

 

По закону электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла

 

. (7.2)

Индуктированная ЭДС вызывает токи, направленные таким образом, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока, о чём свидетельствует знак минус в выражении для .

Э. Х. Ленцем сформулирован принцип электромагнитной инерции в отношении электромагнитных процессов, происходящих в системе контуров с токами.

Принцип электромагнитной инерции: в системе контуров с электрическими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных потоков, сцепляющихся с отдельными контурами системы, при всякой попытке изменить потоки, сцепляющиеся с контурами, в контурах возникают ЭДС, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению.

В случае одного контура с током возникает ЭДС самоиндукции, равная:

 

. (7.3)

Предположим, что поток, сцепленный с контуром, убывает, т.е. , будем иметь . Возникающая в контуре ЭДС стремится воспрепятствовать убыванию потока, то есть вызывает ток в положительном направлении. Если же поток возрастает, то есть , то и . В этом случае ЭДС в контуре стремится вызвать ток в отрицательном направлении и этим воспрепятствовать увеличению потока.

 

Сравним поведение индуктированных ЭДС с силами инерции в механике. Сравнивая формулы (7.1 - 7.3), можно предположить, что магнитный поток Ф - это количество движения в электромагнитном процессе, индуктивность L контура - коэффициент электромагнитной инерции, ток i - электрическая скорость. Обобщенной координатой системы при этом является электрический заряд q, перенесенный через поперечное сечение контура в единицу времени, то есть скорость .