ЭМС с электростатическим взаимодействием

Две системы электромеханических аналогий

Первая система аналогий появилась в результате выбора Максвеллом в качестве обобщенных координат количества электричества - q.

Выбранные обобщенные координаты целиком определяли степень продвижения электрокинетического процесса от некоторого момента времени, соответствующего началу отсчета, а обобщенными скоростями оказались электрические токи, т.е. .

Если рассматривать обобщенную силу в качестве причины изменений в системе, то как уже указывалось, она должна быть выбрана так, чтобы произведение силы на приращение обобщенной координаты равнялось бы произведенной работе. Такой силой, при выбранных Максвеллом обобщенных координатах, становится ЭДС.

 

 

Вторая система аналогий появилась в результате выбора в качестве обобщенной координаты выбрано потокосцепление, аналогом механической силы в этом случае будет служить ток, а скорости соответствует напряжение.

На схемах механических систем, если она представляется обобщенно, а не конкретно, часто любой механический элемент изображается так, как показано на рис 8.1, а.

Механические элементы могут соединяться друг с другом различным образом, причем простейшими соединениями являются соединения цепочкой, как это показано на рис. 8.1, б или узлом, как это изображено на рис. 8.1,в.

 

 

Обобщенные координаты

Обобщенными координатами называются независимые величины, заданием которых однозначно определяется положение всех точек механической системы.

Первоначально в теоретической механике, а впоследствии в теории электричества и электромеханике обобщенные векторы Лагранжа q = [qi, <?2.., QnV и их производные по времени - обобщенные векторы скорости q = [9j, 2,..., qn] -были применены для описания динамики системы. Координаты qi (f=l, 2,..., п) вектора q называются обобщенными координатами, а координаты qt (f=l, 2,..., п) вектора q - обобщенными скоростями. С помощью обобщенных координат можно описать, например, перемещение при поступательном движении (производная от перемещения есть скорость), угловое смещение при вращении (в этом случае производная совпадает с угловой скоростью), заряд в электрической цепи (производная от заряда есть ток) или полный поток индукции (производная определяет напряжение). Обобщенные координаты можно определить также и для других систем, однако в более сложных случаях придется использовать несколько различных наборов таких координат. Например, для описания движения в трехмерном пространстве потребуется использовать три обобщенные координаты и соответственно три скорости. Описание электромеханических систем включает обобщенные координаты и скорости, которые содержат две группы переменных для механических и электрических величин.

 

Обобщённые силы

Обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате , называют величину, определяемую отношением элементарной работы всех действующих сил на перемещение механической системы, вызванном элементарным приращением координаты к величине этого приращения.

Система из n материальных точек находится под действием системы сил и имеет s степеней свободы, т.е. s обобщенных координат . Сообщим обобщенной координате бесконечно малое приращение . При этом остальные обобщенные координаты не изменяются. В этом случае все точки системы получат бесконечно малые перемещения . На этих перемещениях силы совершат работу

. (4.55)

Обобщенная сила определится следующим выражением

 

 

ЭМС с электростатическим взаимодействием

Предположим, что электропотенциаль-ная энергия конденсатора зависит от линейной координаты h или угловой координаты g (рис. 9.6).

Тогда электростатическая сила.

(9.48)

Если считать, что величина потенциальной энергии зависит от геометрической координаты h, то для электростатической силы получим

(9.49)

Учитывая, что величина емкости определяется формулой

(9.50)

и зависит от:

- абсолютной диэлектрической проницаемости;

A - общей плоскости двух пластин;

- расстояния между ними,

Для емкостной машины

(9.55)

В принципе емкостная машина обратима, т.е. она может работать в режиме генератора.

В общем виде уравнения электростатических сил и ЭДС

(9.56)

(9.57)

Эти уравнения позволяют установить электромеханическое взаимодействие в электрическом поле, осуществляемое по координатам.

Если взять производную от первого выражения по , а от второго по , то

(9.58)

Это выражение определяет теорему симметрической взаимности электромеханического взаимодействия в электрическом поле по координатам. Коэффициент позволяет судить о нелинейном характере уравнений.

 

 

Уравнения простейших ЭМС

Для вывода уравнений определим выражения для функций, входящих в уравнение Лагранжа-Максвелла: Т, П, D.

Рассмотрим простейшую индукционную систему, механические составляющие которой записываются

(9.59)

Кинетическая энергия и тепловые потери для индукционной системы

(9.60)

Дифференциальные уравнения имеют вид

(9.61)

 

Электрические составляющие для электростатических систем

(9.62)

В этом случае уравнения будут иметь вид

 

(9.63)

Для второй формы записи:

Электрические составляющие для индукционных систем

(9.64)

 

Дифференциальные уравнения имеют вид

 

(9.65)

Электрические составляющие для электростатических систем

(9.66)

 

Электромагнитные силы

На проводник с током в магнитном поле действуют механические силы, которые называются электромагнитными или электродинамическими. Электромагнитные силы возникают и в одиночном контуре и определяются током в контуре.

 

Рассмотрим систему, состоящую из n контуров с токами. Положение контуров определяется некоторым числом обобщенных координат h. Механические силы, стремящиеся изменить координаты системы, являются также обобщенными силами.

 

Пусть под действием силы f некоторая координата h получит приращение dh в направлении действия силы, а остальные координаты остаются неизменными. В этом случае совершается работа fdh. В тоже время произойдет изменение энергии магнитного поля на величину d _h W _M. Здесь индексом h отмечается, что происходит только одно изменение обобщенной координаты

 

. (7.19)

 

Электромагнитная сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна убыли энергии магнитного поля, отнесенной к единице производимого силой изменения координаты в предположении, что потокосцепления контуров остаются неизменными.

Если функция не зависит от тех или иных переменных, то она называется вырожденной.