а) обидві задані поверхні повинні бути поверхнями обертання;
б) осі поверхонь повинні перетинатися між собою;
в) осі поверхонь повинні бути паралельні одній з площин проекцій.
Розв’язують завдання таким чином:
1) з точки перетину осей заданих поверхонь як із центра проводять допоміжні сфери;
2) 
знаходять кола, по яких допоміжні сфери перетинаються окремо з кожною із заданих поверхонь;
3) знаходять спільні точки перетину утворених кіл.
Розглянемо спосіб концентричних сфер на прикладі побудови ліній перетину поверхні конуса А і конуса В (рис. 4в).
Опорні точки 1v і 5v перетину обрисних твірних знаходять безпосередньо з креслення.
Горизонтальна проекція точки 3н знаходиться на перетині обвідних твірних конуса В з горизонтальною проекцією кола конуса А і є межею видності. Фронтальна проекція знаходиться за допомогою ліній проекційного зв’язку.
З точки О v перетину осей двох конусів ставлять перпендикуляр до абрисної твірної конуса В. Довжина цього перпендикуляра є радіусом мінімальної допоміжної сфери 1, вписаної в конус А. Ця сфера торкається конуса А (точка а 1) і перетинає конус В (точки b 1 і b 1) по колах, які проектуються на фронтальну площину у прямі лінії. Перетин цих ліній дає проекцію 2v шуканої точки. Аналогічно шукають інші точки, збільшуючи радіуси допоміжних сфер.
Горизонтальні проекції точок знаходять за допомогою ліній проекційного зв’язку та додаткових дуг відповідних радіусів.
6. Аксонометричні проекції
Аксонометрія – у перекладі з грецьк. означає «вимірювання» по осях. Осі Ох, Оу, Оz – називають аксонометричними осями. Суть аксонометричного проектування полягає в тому, що предмет відносять до системи координатних осей і проектують його разом з цими осями на вибрану площину аксонометричних проекцій.
Види аксонометричних проекцій
1. Прямокутні проекції:
– ізометрична проекція (при побудові вздовж осей х, у, z і паралельно їм відкладають натуральні розміри предмета); кути між осями становлять 120° (рис. 1);
Рис. 1
Рис. 2
– диметрична проекція (при побудові вздовж осей х, z і паралельно їм відкладають натуральні розміри предмета, а по осі у і паралельно їй – зменшені вдвоє) – рис. 2;
2. Косокутні проекції:
– фронтальна ізометрична проекція (при побудові вздовж осей х, у, z і паралельно їм відкладають натуральні розміри предмета) – рис. 3;
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
– горизонтальна ізометрична проекція (при побудові вздовж осей х, у, z і паралельно їм відкладають натуральні розміри предмета) – рис. 4;
– фронтальна диметрична проекція (при побудові вздовж осей х, z і паралельно їм відкладають натуральні розміри предмета, а по осі у і паралельно їй – зменшені вдвоє) – рис. 5.
Застосування розрізів на аксонометричних проекціях
Розрізи в аксонометрії не залежать від розрізів на кресленнях у прямокутних проекціях. В аксонометрії не рекомендується видаляти половину деталі, оскільки зображення втрачає свою наочність; як правило видаляють четверту частину предмета.
Для визначення нахилу ліній штриховки в прямокутній ізометричній проекції відкладають рівні відрізки по осях х, у і z (рис. 6б), а в косокутній і прямокутній диметричній проекціях – по осях х і z, рівні 1, а по осі у, рівні 1/2 (рис. 6а).
а 
б
Рис. 6
На рис. 7 показано приклад виконання аксонометричного зображення геометричного пустотілого тіла за даними прямокутними проекціями (рис. 8).
Рис. 7
Рис. 8
На рис. 9 а, б, в показано виконання ізометричної проекції кола (циліндра) у різних площинах, яке проектується у вигляді еліпса, але на практиці можна замінити побудовою овала.
На рис. 10 а, б показано виконання прямокутної диметрії кола у площинах П1 і П2, яке проектується у вигляді еліпса, але на практиці можна замінити побудовою овала. На горизонтальній прямій відкладаємо величину великої осі АВ = 1,06D, а на вертикальній – величину малої осі СD = 0,35D; відстань ОО1 = ОО2 = АВ (рис. 10 а). Решта побудов зрозуміла з рисунків.
Рис. 9 а
1. Будуємо осі х, у, z. Відкладаємо відстань ОО / = R, О 1 О 2 = l.
2. В точках О 1 і О 2 проводимо осі х 1, у 1, z 1 ½½ х, у, z. На цих осях відкладаємо радіус кола R – отримаємо точки 1 – 6.
3. Проведемо прямі 12 і 54 ½½ у 1, 16 і 43 ½½ z 1 – утвориться ромб, в якого АВ ^ х 1.
4. З’єднаємо точки 4 і 6, 4 і 2, 1 і 5, 1 і 3 – утворилися точки С і D.
5. Проведемо дуги: з точки 4– R 1 = 46 (або 42); з точки 1– R 1 = 15 (або 13); з точки С – R 2 = С 5 (або С 6); з точки D – R 2 = D 3 (або D 2);
6. Утворився овал (циліндр) у площині перпендикулярній до осі х.
Рис. 9 б
1. Будуємо осі х, у, z. Відкладаємо відстань ОО / = R, О 1 О 2 = l.
2. В точках О 1 і О 2 проводимо осі х 1, у 1, z 1 ½½ х, у, z. На цих осях відкладаємо радіус кола R – отримаємо точки 1 – 6.
3. Проведемо прямі 12 і 54 ½½ z 1, 16 і 43 ½½ х 1 – утвориться ромб, в якого АВ ^ у 1.
4. З’єднаємо точки 4 і 6, 4 і 2, 1 і 5, 1 і 3 – утворилися точки С і D.
5. Проведемо дуги: з точки 4– R 1 = 46 (або 42); з точки 1– R 1 = 15 (або 13); з точки С – R 2 = С 5 (або С 6); з точки D – R 2 = D 3 (або D 2);
6. Утворився овал (циліндр) у площині перпендикулярній до осі у.
Рис. 9в
1. Будуємо осі х, у, z. Відкладаємо відстань О 1 О 2 = l.
2. На осях х, у, z. відкладаємо радіус кола R – отримаємо точки 1–6.
3. Проведемо прямі 12 і 54 ½½ х, 16 і 43 ½½ у – утвориться ромб, в якого АВ ^ z.
4. З’єднаємо точки 4 і 6, 4 і 2, 1 і 5, 1 і 3 – утворилися точки С і D.
5. Проведемо дуги: з точки 4– R 1 = 46 (або 42); з точки 1– R 1 = 15 (або 13); з точки С – R 2 = С 5 (або С 6); з точки D – R 2 = D 3 (або D 2);
6. Утворився овал (циліндр) у площині перпендикулярній до осі z.
Рис. 10
7. Технічне рисування
Мета технічного рисування – це набуття навичок у змалюванні олівцем предметів за правилами аксонометричних проекцій.
Загальні відомості про технічне рисування
Технічним рисунком називається наочне зображення предмета в аксонометричній проекції, виконане від руки і на око; це найбільш наочний і простий вид зображення, який виявляє форму і конструкцію предметів.
Технічний рисунок є допоміжним засобом при проектуванні машин, механізмів і різних виробів. До технічних рисунків відносять також рисунки, виконані за спеціальними правилами, наприклад, рисунки моделей одягу, мережок, тканин тощо.
Технічне рисування розвиває просторову уяву, зорову пам'ять, естетичний смак, спостережливість, відчуття пропорції і сприяє кращому розумінню кресленню.
У процесі рисування потрібно дотримуватися таких вказівок:
1) аркуш паперу закріпити на фанері або креслярській дошці, яка має бути нахилена під кутом 60°, одним кінцем спиратися на коліна учня, а інший на спинку стільця або стіл;
2) аркуш має бути добре освітлений;
3) відстань від очей учня до предмета має бути втроє більшою за розмір предмета;
4) олівець тримати 3-ма пальцями (великим, вказівним і середнім), рисувати вільно, рухи впевнені;
5) рисувати лише сидячи, спина пряма;
6) використовувати олівці марок М і 2М.
Навички виконання технічних рисунків набувають тренуванням.
Рисування прямих ліній і кутів
Перш ніж почати рисувати предмет потрібно навчитися проводити прямі лінії, кути, ділити відрізки.
Для побудови прямих ліній (80 – 100 мм) потрібно (рис. 10:
– намітити декілька точок,
– олівцем у просторі зробити рух у напрямку ліній,
– провести тонку лінію,
– перевірити її прямолінійність,
– обвести заданою товщиною.
Рис. 1
Для поділу відрізків на 2, 4, 6, 8, … рівних частин потрібно (рис. 2):
– визначити на око середину і зробити засічку,
– тоді кожну половину ділити ще пополам і т.д.
Рис. 2
Для побудови кутів потрібно (рис. 3):
– Ð 90° – провести дві взаємно перпендикулярні прямі;
– Ð 45° і 135° – отримаємо при відношенні катетів 1:1;
– Ð 60° і 120° – отримаємо при відношенні катетів 5:3;
– Ð 30°, 60° і 120° – отримаємо при поділі дуги на 3 частини.
Рис. 3
Для поділу кутів на рівні частини потрібно (рис. 4):
– на 2 частини: відкласти відрізки ОА = ОС, АС – пополам, тоді провести бісектрису через т. В з центру О;
– на 4 частини: поділити на 2 частини, а тоді відкласти відрізки ОА1 = ОВ1 = ОС1, А1В1, В1С1 – пополам, тоді провести бісектрису через т. О/ і О// з центру О;
– на 3 частини: провести дугу, поділити її на 3 частини.
Рис. 4
Рисування плоских фігур і геометричних тіл
Виконання рисунків розпочинають з побудови аксонометричних осей, які найчастіше будують у прямокутній ізометричній або диметричній проекціях.
Для побудови осей в ізометрії потрібно:
– провести дугу і поділити на 3 частини або взяти відношення катетів 5:3 (рис. 1, п. 6);
Для побудови осей в диметрії потрібно:
– одну чверть дуги (ліву) поділити на 3 частини, тоді середню третину поділити ще на 3 частини – отримаємо т. А, з якої проведемо пряму і отримаємо Ð41°; другу чверть дуги (праву) ділимо на 3 частини, тоді крайню третину ділимо на 4 частини – отримаємо т. В, з якої проведемо пряму і отримаємо Ð7° (рис. 5);
Рис. 5
– взяти відношення катетів: 1:8 – отримаємо Ð7°; 7:8 – Ð41° (рис. 2, п. 6).
Розглянемо рисування плоских фігур в ізометрії в різних площинах (П1, П2, П3):
1) квадрат (рис. 6) – на осях Ох, Оу відкладаємо рівні відрізки: ОА = ОВ = ОД = ОС. Квадрат в ізометрії має вигляд ромба, в якого ОА = О/А/, ОВ = О/В/, …
Рис. 6
2) рівносторонній трикутник (рис. 7) – на осях Ох, Оу відкладаємо 4 рівні відрізки – отримали т. 1, 2, 3, В (вершина); відрізок О2 ділимо пополам, через т. О/ проводимо пряму паралельну осі х; відрізки О1 і О3 ділимо на 8 рівних частин і на 1/8 проводимо прямі паралельні осі у – отримаємо т А і С – ще дві вершини. Аналогічно будуємо трикутник в площинах П1, П2, П3, змінюючи осі.
Рис. 7
3) правильний шестикутник (рис. 8) – на осях Ох, Оу відкладаємо 4 рівні відрізки – отримали т. 1, 2, А і Д (вершини); відрізок ОА і ОД ділимо пополам, через т. О/ і О// проводимо прямі паралельні осі у; відрізки О1 і О2 ділимо на 8 рівних частин і на 1/8 проводимо прямі паралельні осі х – отримаємо т. В, С, F і Е – вершини шестикутника. Аналогічно будуємо шестикутник у площинах П1, П2, П3, змінюючи осі.
Рис. 8
4) коло (рис. 9) – на осях Ох, Оу відкладаємо радіус кола – отримали т. А, В, С і Д, які належать колу, через них будуємо квадрат, а тоді проводимо діагоналі; О/ C – ділимо на 4 частини, а О/ А – на 2 частини; з’єднуємо т. 3 і 5 – отримуємо т. O//, яка теж належить колу; використовуючи правила симетрії, знаходимо інші точки, що належать колу. Коло в ізометрії має вигляд еліпса, який будуємо аналогічно у площинах П1, П2, П3, змінюючи осі.
Рис. 9
Рисування геометричних тіл (рис. 10) розпочинають з побудови плоских фігур, тоді відкладають висоти і показують обриси бокових поверхонь.
Рис. 10
Способи передавання об’єму на технічному рисунку
Для того щоб надати технічному рисунку більшої наочності і виразності застосовують різні способи передачі об’єму предмету, які відображають розподіл світлотіні на поверхні.
Прийнято вважати, що джерело світла знаходиться зверху, зліва і ззаду того, хто рисує.
Елементи світлотіні (рис. 11):
– блиск (блік) – найбільш світла пляма або точка на поверхні предмета;
– півтінь – менш освітлена частина предмета на поверхні, в цьому місці відбувається плавний перехід від світла до тіні;
– власна тінь –найбільш затемнена частина на поверхні предмету;
– рефлекс – відбите світло від поверхні в неосвітленій його частині.
Рис. 11
Спочатку тонкими лініями наносять межі елементів світлотіні на зображенні, а тоді відтінення (рис. 12), яке може наноситися такими способами:
– лінійне штрихування,
– штрафування (штрихування сіткою),
– тушування,
– точкове відтінення,
– відмивання аквареллю або тушшю
– розпилення фарби аерографом.
На багатогранниках вертикальні поверхні штрихують вертикальними лініями, горизонтальні – паралельно осям х і у, а похилі – паралельно напрямку нахилу площин. На освітлених гранях – тонкими лініями, на затемнених – більш товстими із зменшенням відстані між ними.
Рис. 12
Послідовність рисування технічних деталей з натури або за їх кресленням:
1) вивчити деталь і з’ясувати її робоче положення;
2) установити на око приблизне співвідношення її габаритних розмірів (д´ш´в), а також розміри частин деталі;
3) з’ясувати конструктивну суть деталі, розчленити її на прості геометричні форми;
4) установити потребу вирізу, якщо деталь має внутрішні порожнини;
5) вибрати вид аксонометрії;
6) продумати композицію рисунка.
Перспектива
Загальні відомості і основні поняття перспективи
Ортогональні проекції, аксонометрія та проекції з числовими позначками – це умовні наочні зображення просторових об’єктів, які не повністю враховують особливості зору людини. Наочніше проекційно-зображувальною системою є перспектива, в основі якої лежить центральне проеціювання.
Перспективою називають науку, яка досліджує та вивчає закономірності зображення предметів відповідно до зорового сприйняття їх людиною, а також самі зображення, що ґрунтуються на цих закономірностях.
Перспектива буває:
а) геометричною:
– лінійна (коли поверхня проекцій є площина);
– панорамна (коли поверхня проекцій є циліндрична поверхня);
– сферична (якщо побудова ведеться на внутрішній поверхна сфери);
б) повітряною;
в) аналітичною тощо.
Перспектива – найдавніший спосіб зображення просторових форм на площині, тому елементи апарата проеціювання мають спеціальні назви (рис. 1).
Площини:
– вертикальна К – площина основних проекцій, яку називають картиною площини або картиною;
– горизонтальна Р – предметна площина, оскільки на ній розташовується предмет;
– нейтральна Н – проведена через центр С, паралельно до картини;
– горизонтальна Г – площина горизонту, проведена через центр С.
Характерні точки на лінії апарата проеціювання:
точка С – центр проеціювання – точка зору;
точка С1 – основа точки зору – прямокутна проекція точки С на площині Р;
точка О – головна точка картинною площини – прямокутна проекція точки О1 – її основи;
пряма СО – зорова відстань – відстань від точки зору до картини;
відрізок СС1 – висота точки зору;
лінія перетину К з Г – є лінією горизонту (л.г.), а лінія перетину Р і К – лінія основи (л.о.);
пряма ОО1 – вісь картини.
Рис. 1.
Дві паралельні площини К і Н поділяють увесь простір на три частини:
1) частина простору за К відносно точки зору є предметним простором;
2) частина простору, що розміщена між площиною К і Н називається проміжним простором;
3) частина простору, що розміщена перед нейтральною площиною називається уявним простором.
Послідовність вибору точки зору і картинної площини
Точку зору С1 (див. рис. 2 а, б) розміщують спочатку на горизонтальній проекції, так щоб кут зору (а це кут між крайніми променями зору) дорівнював близько 28…37°, оскільки в межах такого кута людина бачить предмет при нерухомих очах та голові. Якщо цей кут буде значно більшим, то зображення матиме небажані ракурси, а якщо істотно меншим, то зображення буде схожим на таке, яке будується при паралельному проеціюванні, що є нераціонально для перспективи.
Головний промінь зору зазвичай спрямований на середину, наприклад, головного фасаду, або на ту частину, яку потрібно бачити виразніше. При цьому головний промінь зору розміщують у середній третині кута зору.
Після цього перпендикулярно до головного променя С1О1 розміщують К, яка на плані буде зображена прямою лінією, оскільки за умовою вона вертикальна. Чим далі картина від точки зору, тим більше зображення.
Далі на фронтальній проекції заданого об’єкта визначають висоту точки зору h – як відстань між предметною площиною та площиною горизонту. Для невеликих споруд h беруть такою, що дорівнює зросту людини, для більших – збільшують.
Для побудови перспективного зображення на вільному полі рисунка розміщують лінію горизонту, а на відстані h – Рк. У центрі майбутньої композиції фіксуємо точки О та О1.
На горизонтальній проекції через вершини квадрата проводимо вертикальні променеві площини, що проеціюються променями С11, С12, С13, С14, – утворюються точки 14, 24, 34, 44 на картинній площині К. Ці точки переносять на перспективне зображення зі збереженням відстаней від точки О1. Кожну точку в перспективі будують як перетин двох прямих ліній, тому на плані, а потім в перспективі проводять прямі додаткового напряму через вершини квадрата – (1113 і 4144).
Після чого визначають точку збігу прямих 1121 і 3141, для цього через точку С1 проводять промінь зору, паралельний їм, до перетину з К – отримаємо точку F.
На перспективному зображенні сполучаємо точку F з 13 і 43.
На рис. 2 а задано плоску фігуру – квадрат з вершинами 1, 2, 3, 4; визначено С 1 і С 1 О 1, К. Горизонтальна проекція квадрата може не належати предметній площині, тому лінію перетину його площини з К позначено картинним слідом Рк (рис. 2 б).
Рис. 2 а
Рис.2б
На рис. 3 а, б показано побудову перспективного зображення двох геометричних тіл (прямокутний паралелепіпед і чотирикутна піраміда) з відповідними вершинами.
Рис. 3а
Р
Побудова перспективного зображення об’єкта способом архітекторів
Основні ознаки способу архітекторів:
– максимальне використання точок збігу домінуючих напрямів;
– відсутність ліній основи;
– застосування ділильного масштабу для побудови архітектурних елементів.
Розглянемо схематичну побудову перспективного зображення будинку.
1. Визначаємо апарат перспективи – точку С1, С1О1 ^ К; точки збігу F1 і F2 домінуючих напрямів; л.г. (рис. 4 а).
2. На лінії майбутньої перспективи розміщуємо (рис. 4 б):
– л.г., на ній точки О1, F1 і F2 і ін. точки з К, з яких проводимо вертикальні прямі;
– через точку 13 проводимо вертикальну пряму, на якій відкладаємо відрізки 1315 і 1314 (див. фронтальну проекцію); точка 13 – це місце на плані, де площина стіни перетинається з К, тому ребро будинку проектується в натуральну величину;
– точки 14 і 15 з’єднуємо з точкою F1 – отримаємо верхні та нижні межі стін фасаду;
– визначаємо вертикальні межі стін через точки 16, 23 і 33 – отримаємо точки 21 і 24; точки 15 і 14 – з’єднуємо з точкою F2.
3. Будуємо перспективу цоколя:
– з точки 53 (точка перетину вертикальної площини цоколя з К) від л.г. відкладаємо відрізки 5354 і 5355 (див. фронтальну проекцію);
– прямі F154 i F155 обмежують горизонтальну площину цоколя, а вертикальну – прямі проведені з точок 56, 43 і 63;
– точки 44, 57 і 58 з’єднуємо з точкою F2, а точку 64 – з точкою F1.
4. Будуємо горизонтальні лінії карниза:
– відкладємо на л.г. відрізок 5673 (див. фронтальну проекцію), точку 73 зєднаємо з з точкою F2 – утвориться точка 83;
– 7383 ділимо навпіл, використовуючи правило ділильного масштабу (рис. 5), а саме: з точки 83 проводимо додаткову довільну пряму 8384 ½½ л.г., на якій відкладаємо два рівні відрізки; точки 73 і 84 з’єднуємо лінією до перетину з л.г. – отримаємо точку F0; точку F0 з’єднаємо з центром 8384 – отримаємо точку 95 – середину карниза 7383.
– з точки 95 проводимо вертикальну пряму;
з точки 93 від л.г. проводимо відрізок 9394 (див. фронтальну проекцію) – отримаємо точку 94, яку з’єднаємо з точкою F1 – отримаємо точки 9 і 10;
– з’єднаємо точки 73 і 9, 83 і 9; точки 73 і F1; точки 45 і 10; точки 45 і F2; точки 83 і F1.
5. Будуємо менші деталі споруди (вікно і товщина стін) з використанням ділильного масштабу:
– з точки 15 проводимо пряму ½½ л.г., яку розбиваємо на пропорційні відстані (стіна – вікно – стіна) (див. на фасаді) – отримаємо точку 22, яку з’єднаємо з точкою 21 до перетину з л.г. – отримаємо точку F0/; точку F0/ з’єднуємо з усіма точками на 1522 до перетину з 1521, а тоді вертикально вниз;
