Основные характеристики системы обслуживания с ожиданием

Рассмотрим систему обслуживания с накопителем, удовлетворяющую следующим условиям:

Если в момент поступления требования свободен хотя бы один узел обслуживания, то требование сразу начинает обслуживаться (любым из свободных узлов).

Если все узлы заняты, то поступившее требование становится в очередь за уже имеющимися в накопителе требованиями.

Если в момент освобождения узла имеется хотя бы одно требование в накопителе, то первое из них по очереди сразу поступает на обслуживание.

Каждый узел в любой момент времени обслуживает не более одного требования.

Каждое требование обслуживается одним узлом.

Обслуживание не прерывается.

По окончании обслуживания требование покидает систему.

Входящий поток является пуассоновским.

Продолжительность обслуживания есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону, единому для всех узлов обслуживания;

Из условий 2 и 3 следует: 1) очередь в накопителе упорядочена естественным образом (ни одно требование не обладает приоритетом перед другими), 2) любой узел доступен непосредственно из накопителя, т.е. узлы работают не последовательно, а параллельно, 3) свободные узлы могут быть только при пустом накопителе.

Из условий 4-6 вытекает, что требования обслуживаются независимо и узлы работают независимо: организация обслуживания не предусматривает их группировку. Условие 7 свидетельствует о разомкнутости системы. Из условия 9 следует, что узлы обслуживания предполагаются одинаковыми (не по физическим свойствам, а по вероятностным характеристикам), причем вероятность того, что время обслуживания больше заданного времени t

P{tобсл > t} = e-vt, где v – интенсивность обслуживания, т.е. среднее число требований, обслуживаемых узлом в единицу времени. Общая схема СМО с ожиданием:

Входящий поток → Накопитель → Узлы обслуживания → Выходящий поток

Состояние СМО с ожиданием – общее число требований, находящихся в системе, т.е. сумма числа требований в узлах и в накопителе. Состояние определяется целыми неотрицательными числами. При этом 0 соответствует отсутствию требований в системе; состояние k при k ≤ N соответствует отсутствию очереди, при k≥N – занятости всех узлов, а при k>N – еще и наличию очереди.

Процесс функционирования, т.е. процесс перехода из состояния в состояние, является марковским. Входящий поток является пуассоновским, поступление требований из него на любом отрезке времени не зависит от истории потока до начального момента этого отрезка (отсутствие последействия в пуассоновском потоке).

Уход требований за данный отрезок времени не связан с тем, что происходило раньше. Это объясняется экспоненциальностью распределения длительности обслуживания.

Загрузка системы: ρ = α/v, где α – параметр входящего пуассоновского потока требований, и v – интенсивность обслуживания, т.е. среднее число требований, обслуживаемых узлом в единицу времени.

Характеристики функционирования СМО с ожиданием:

Вероятность наличия очереди Pоч есть вероятность того, что число требований в системе больше числа узлов:

P0 — доля времени, когда система пустая.

 

Pоч = сумм(Pk) = P0*(ρ^(N+1))/(N!(N-ρ))

Вероятность того, что все узлы заняты

Pзан = сумм(Pk) = Pn + Pоч =P0*(ρ^(N))/((N-1)!(N-ρ))

Среднее число требований к системе:

Mтр = сумм(kPk) = P0(ρ*сумм(ρ^k/k!) + (ρ^(N+1)*(N+1-ρ))/((N-1)!(N-ρ)^2)

Средняя длина очереди

Моч = сумм(kPN+k) = P0*(ρ^(n+1)/(N-1)!(N-ρ)^2

Среднее число занятых узлов обслуживания

Мзан = сумм(kPk) + NPзан

Среднее число свободных узлов

Мсв = N – Мзан

Среднее время ожидания начала обслуживания, для требования поступившего в систему

Тож = сумм(PN+k(k+1)/Nv)

Общее время, которое проводят в очереди все требования, поступившие в систему за единицу времени,

Тож = αТож

Среднее время Ттр, которое требование проводит в системе обслуживания, складывается из среднего времени ожидания и среднего времени обслуживания:

Ттр = Тож +1/v

Суммарное время, которое в среднем проводят в системе все требования, поступившие за единицу времени,

Ттр = αТтр = Тож + ρ

Функция распределения времени ожидания начала обслуживания для требования, прибывшего в систему

1 – Pзан*e^(-(Nv-α)t)