Эквивалентные преобразования при параллельном соединении резисторов

Эквивалентные преобразования резисторов в цепях постоянного тока

Методические указания к лабораторной работе
по дисциплине “Электротехника”

Казань 2009

Цель работы -опытная проверка правил эквивалентного преобразования резисторов при последовательном, параллельном и смешанном соединениях, а также преобразования треугольника резисторов в эквивалентную звезду и наоборот. Применение метода эквивалентных преобразований для расчета электрических цепей постоянного тока.

Основные понятия и расчетные соотношения

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Применение законов Ома и Кирхгофа позволяет преобразовать сложные электрические цепи в более простые, заменяя отдельные участки цепи, содержащие несколько элементов, одним эквивалентным элементом. Таким образом, эквивалентные преобразования позволяют заменить исходную цепь, содержащую большое число элементов, более простой, с меньшим числом элементов, но эквивалентной исходной цепи.

Цепи считаются эквивалентными, если при их взаимной замене токи и напряжения на интересующих нас участках цепи остаются неизменными.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТОРОВ

Последовательное соединение нескольких резисторов можно заменить одним резистором с сопротивлением R _ЭКВ (рис. 1.1).

Рис.1.1. Последовательное соединение сопротивлений

По второму закону Кирхгофа напряжение U складывается из падений напряжения на каждом из резисторов R₁, R₂, и R₃, т.е.

U = U₁ +U₂+U₃.

(1.1)

Так как ток I является одинаковым для всех резисторов, то (1.1) можно записать в виде

(1.2)

откуда

(1.3)

В общем виде эквивалентное сопротивление при последовательном соединении элементов цепи равно сумме сопротивлений отдельных элементов:

(1.4)

где n - число резисторов.

Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из трех резисторов (R₁ = 1 Ом, R₂ =2 Ом и R₃ =3 Ом) соединенных последовательно.

По формуле (1.4) получаем R_ЭКВ =6 Ом.

При последовательном соединении резисторов их эквивалентное сопротивление всегда больше большего из сопротивлений этих резисторов.

При последовательном соединении резисторов ток в цепи одинаков:

(1.5)

Напряжение U_i и мощность P_i на зажимах последовательно соединенных элементов распределяется пропорционально их сопротивлениям, т. к. U_i = IR_i_, , а мощность, подводимая к цепи, равна сумме мощностей на отдельных элементах:

(1.6)

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТОРОВ

При параллельном соединении резисторов (рис.1.2) все элементы цепи, в том числе и эквивалентное сопротивление R_{ЭКВ пар} находятся под одним и тем же напряжением U.

Рис.1.2. Параллельное соединение сопротивлений

Для цепи (рис. 2) по первому закону Кирхгофа

I = I₁+ I₂ + I₃,

(1.7)

где по закону Ома

(1.8)

В то же время для эквивалентной схемы

(1.9)

Подставляя значения токов (1.8) и (1.9) в (1.7) и сокращая на U, получим

. (1.10)

В общем случае для n резисторов при параллельном соединении

. (1.11)

Для двух резисторов соединенных параллельно эквивалентное сопротивление записывают так:

(1.12)

Пример: Определить эквивалентное сопротивление цепи из трех резисторов (R₁ = 3 Ом, R₂ =3 Ом и R₃ =3 Ом) соединенных последовательно.

По формуле (1.10) получаем R_ЭКВ=1 Ом.

При параллельном соединении резисторов их эквивалентное сопротивление всегда меньше меньшего из сопротивлений этих резисторов.

При параллельном соединении элементов часто пользуются не сопротивлениями элементов, а их проводимостью. Как известно электрической проводимостью, называется величина, обратная сопротивлению. Она обозначается G и измеряется в сименсах (См); 1См = 1 / 1 Ом.

Тогда уравнение (1.10) можно переписать для проводимостей как:

G_{экв пар}= G₁ + G₂ + G₃,

(1.13)

или в общем виде для n – резисторов

(1.14)

Следовательно, при параллельном соединении элементов электрической цепи эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей ее отдельных параллельно включенных ветвей.

Ток в параллельных ветвях цепи, согласно (1.8), распределяется обратно пропорционально их сопротивлениям.

Напряжение на всех элементах параллельной цепи одинаково и определяется выражением (1.15):

(1.15)

Мощность, подводимая к цепи с параллельно включенными резисторами, равна сумме мощностей ее отдельных элементов:

(1.16)