Краткие сведения из теории

СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ

Рассмотрим два множества и . Пусть элементы множества ; элементы множества . Из элементов этих множеств образуем всевозможные пары ; такие пары элементов называются упорядоченными парами. Первый элемент упорядоченной пары называется первой компонентой, второй элемент – второй компонентой.

Декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар, у которых первая компонента принадлежит множеству , вторая компонента – множеству .

Другими словами, .

Бинарное отношение. Пусть два множества. Бинарным отношением & называется некоторое подмножество декартова произведения . Бинарноеотношение – это отношение, устанавливающее связь между парами элементов двух разных множеств или одного и того же множества.Бинарное отношение в дальнейшем будем обозначать символом &. Бинарное отношение & можно задавать либо путем его описания, либо указанием множества всех пар элементов, находящихся в отношении &. В общем виде бинарное отношение & можно задать так:

& .

Например, если множества {мышь, курица, заяц}, {кошка, собака, лисица, волк}, то бинарное отношение & – «быть съеденным» задается так: &={(мышь, кошка), (мышь, лисица), (курица, собака), (курица, лисица), (курица, волк), (заяц, собака), (заяц, лисица), (заяц, волк)}.

Например, если числовое множество , то бинарное отношение & – «быть делителем», построенное на множестве , выглядит так: &

Функция. Пусть множество действительных чисел. Функцией называется закон, по которому каждому числу ставится в соответствие единственное действительное число . При этом в записи: символ называется аргументом, символ – значением функции, символ именем функции. Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество всех значений называется областью значений функции и обозначается . Важным понятием для функции является ее график. Графиком функции называется точек на плоскости вида , где . Существует четыре способа задания функции:

· аналитический; функция задается одной или несколькими способами;

· графический; функция задается своим графиком;

· табличный; функция задается таблицей значений аргумента и функции ;

· компьютерный; составляется компьютерная программа, предусматривающая вывод функции либо одним из трех указанных выше способов, либо передающая функцию на другую компьютерную программу.

Какой способ задания является предпочтительным? На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, так как каждый способ имеет свои преимущества и недостатки.

Бинарное отношение и функция. Пусть функция имеет область определения и область значений . Согласно определению функции для каждого значения аргумента мы находим единственное значение функции . Другими словами, получаем упорядоченную пару , принадлежащую декартову произведению . Это означает, что любая функция порождает некоторое бинарное отношение &.

А верно ли обратное утверждение? Можно ли утверждать, что любое бинарное отношение порождает функцию? В общем случае это не так. Например, бинарное отношение & не порождает функцию, потому что одному и тому же значению аргумента соответствует два значения функции и ; этого по определению функции быть не должно. Поэтому, чтобы бинарное отношение & порождало бы некоторую функцию, нужно, чтобы первые компоненты & были различны между собой.

Производная. Пусть функция определена на множестве , точки . Приращением аргумента называется разность . Ясно, что . Приращением функции называется разность . Пусть область определения является интервалом, и точка . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента . Это отношение для конкретной функции и конкретной точки не является постоянным; оно зависит от величины приращения . Будем уменьшать приращения аргумента , приближая его к нулю. (Это коротко пишут так: .) Может случиться, что при отношение приращений приближается к какой-то величине . В этом случае говорят, что в точке функция имеет производную , и пишут: . Та функция, которая в точке имеет производную, называется дифференцируемой в точке . Операция взятия производной называется дифференцированием функции. Доказывается, что производная функции обладает следующими свойствами:

· , т. е. производная константы равна нулю;

· , т. е. производная суммы функций равна сумме их производных;

· , т. е. производная разности функций равна разности их производных;

· , т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной;

· (правило дифференцирования произведения);

· , если только (правило дифференцирования частного).

В школе были доказаны следующие формулы:

· ; в частности: , , , и так далее…;

· ;

· .

Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по окончательному аргументу, т. е. .

Замечание. Чтобы найти производную сложной функции, нужно:

· разбить исходную функцию на элементарные;

· найти производную от каждой элементарной функции;

· перемножить все производные.

Первообразная. В предыдущем параграфе мы по заданной функции искали производную . Теперь попытаемся проделать обратную операцию. По заданной функции найдем функцию такую, что ее производная будет равна , т. е. . Такая операция называется интегрированием функции , а сама функция называется первообраз-ной для функции . Например, для функции первообразная равна , так как . Для функции первообразная равна , так как . И так далее… Следует помнить первообразные для некоторых часто встречающихся функций.

Таблица первообразных.

Функция	Первообразная	Функция	Первообразная
1.		7.
		8.
3.		9.
4.		10.
5.		11.
6.

Замечание. Вообще говоря, для функции первообразную можно найти с точностью до постоянного слагаемого, потому что . В таблице для каждой функции указана одна из первообразных.

Интеграл. Интеграл (точнее, определенный интеграл) находит широкое применение в науке и технике. Для вычисления определенного интеграла используется формула

. (1)

Формула (1) называется формулой Ньютона – Лейбница. В этой формуле какая-либо первообразная подынтегральной функции . Формула Ньютона – Лейбница читается так: «Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции в верхнем и нижнем пределах». Определенный интеграл обладает такими свойствами:

· , т. е. числовой множитель можно выносить за знак интеграла;

· , т. е. интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов;

· , т. е. интеграл от разности функций равен разности их интегралов;

· .

Геометрический смысл интеграла. Пусть подынтегральная функция неотрицательна на . Криволинейной трапецией (см. рис. 1) называется фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью абсцисс, слева и справа – вертикальными прямыми и . Доказывается, что площадь криволинейной трапеции находится по формуле

(2)

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

С помощью определенного интеграла можно находить площади фигур. Итак, пусть фигура такова, что ее границу можно разбить на две части: верхнюю и нижнюю (см. рис. 2). Пусть уравнение нижней границы,

уравнение верней границы. Пусть проекция фигуры на ось абсцисс. Тогда площадь фигуры находится по формуле

. (3)

Контрольные вопросы и упражнения

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Зная, что , найдите .

3. Дайте определение бинарного отношения.

4. Укажите способы задания бинарного отношения.

5. Чем является бинарное отношение:
а) функцией; б) подмножеством; в) графиком; г) парой элементов.
Укажите верный ответ.

6. Совпадает ли бинарное отношение между элементами двух множеств с декартовым произведением этих множеств?

7. Даны два множества . Постройте бинарные отношения: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

8. Дайте определение функции, области определения и области значений функции.

9. Дайте определение графика функции.

10.

На рисунках (см рис.3а – рис. 3д) изображены линии или совокупности линий и точек. Какие из них являются графиком функции, какие – нет? Почему?

11. Всякая ли функция является бинарным отношением? Всякое ли бинарное отношение является функцией?

12. Будет ли бинарное отношение &= порождать функцию ? В случае положительного ответа укажите и .

13. Будет ли бинарное отношение &= порождать функцию ? В случае положительного ответа укажите и .

14. Постройте график функции .

15. Постройте график функции на естественной области определе-ния. Укажите и .

16. Постройте график функции
Укажите и .

17. Постройте график функции
Укажите и .

18. Укажите естественную область определения функции . (По определению .) Постройте график функции и укажите .

19. Постройте график функции . (По определению целая часть .)

20. Дайте определение производной.

21. Перечислите свойства производной.

22. Выпишите таблицу производных.

23. Найдите , если .

24. Найдите , если .

25. Найдите , если .

26. Найдите , если .

27. Найдите , если .

28. Найдите , если .

29. Найдите , если .

30. Найдите , если .

31. Найдите , если .

32. Найдите , если .

33. Найдите , если .

34. Дайте определение первообразной.

35. Выпишите таблицу первообразных.

36. Постройте интегральную сумму.

37. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

38. Найдите .

39. Найдите .

40. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

41. Как найти площадь криволинейной трапеции?

42. Как найти площадь плоской фигуры?

43. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции .

44. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Задание на работу

Задача 1. Порождает ли бинарное отношение & функцию ? В случае положительного ответа найдите область определения и область значений , а также постройте график функции.

Варианты

Вариант 1.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 2.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 3.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 4.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 5.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 6.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 7.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 8.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 9.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 10.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 11.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 12.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 13.

а) &= ;

б) &= ;

в) &= .

Вариант 14.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Вариант 15.

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

Задача 2. Постройте график функции на естественной области определения.

Варианты

1. .

2. .
3. .
4. .
5. .

7.
8.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Задача 3. Зная и , найдите .

Варианты

3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.

12.

13.
14.
15.

Задача 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Варианты

4.
5.

8.
9.

10.

11.

12.
13.

14.

15.

Образец выполнения работы

Задача 1. Порождает ли бинарное отношение & функцию ?

а) &= ;
б) &= ;
в) &= .

В случае положительного ответа найдите область определения и область значений , а также постройте график функции.

Решение. a) Бинарное отношение &= не порождает функцию, потому что первые компоненты упорядоченных пар равны между собой, что запрещено по определению функции.

б) Бинарное отношение &= не порождает функцию, потому что первые компоненты упорядоченных пар равны между собой, что запрещено по определению функции.

в) Бинарное отношение & порождает некоторую функцию , потому что все первые компоненты упорядоченных пар различны между собой. Находим область определения и область значений . Строим график функции (см. рис. 4).

Задача 2. Постройте график функции на естественной области определения.

Решение. Обычно при задании функции формулой должна указываться область определения функции. Если же область определения не указана (как в нашем примере), считается, что функция задана на естественной области определения, т. е. на том множестве аргументов, где формула имеет смысл. В нашем примере областью определения функции является интервал , потому что логарифм определяется только для положительных значений аргумента. Итак, . Для построения графика функции строим таблицу значений функции.