Сравнение степени возрастания показательных, степенных и логарифмических функций.

Для любого и для любого натурального n имеет место соотношение

а также соотношение

Для доказательства этих соотношений следует применить правило Лопиталя достаточно количество раз. Эти соотношения обобщаются на случай, когда -- любое действительное число.

Пример.

Формула Тейлора

 

Ставится задача приблизить (аппроксимировать) функцию в окрестности точки многочленом степени n. Для n=1 мы уже нашли решение: . Удобно точкой отсчета считать нулевую точку, т.е. от координат мы переходим к приращениям и . Ряд

представляется из себя семейство бесконечно малых величин, каждая последующая из которых есть б.м. большего порядка, чем предыдущая. Поставим задачу о разложении вида

где остаточный член есть б.м. высшего порядка по сравнению с . Деля (1) на и устремляя получаем . Найдем другие коэффициенты в этом разложении:

Локальная формула Тейлора. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки n раз, и n-ая производная непрерывна в точке . Тогда

Доказательство. Применяем n раз правило Лопиталя к вычислению предела отношения

и доказываем, что этот предел равен 0.□

В условиях теоремы функция раскладывается в окрестности точки a в сумму многочлена степени ≤ n от переменной и остаточного члена , про который известно, что он есть величина бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Функция линейна по переменной , она называется дифференциалом в точке и обозначается Легко видеть, что . Мы получаем «симметричный» вид дифференциала вычисленный в произвольной точке :

Отсюда получаем, что производная равна отношению дифференциалов:

Аналогично, функция называется дифференциалом -го порядка и обозначается . Ее симметричный вид есть . Тогда локальная формула Тейлора в дифференциалах принимает вид:

Уточним вид остаточного члена

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки n+1 раз. Тогда для всех достаточно близких к найдется точка такая, что

В частности, если , то имеет место следующая оценка остаточного члена:

Частный случай формулы Тейлора -- формула Маклорена получается при . Тогда при наличии n+1 производной в окрестности нуля, для каждого достаточно малого найдется такой, что

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена

 

Разложение экспоненты

Для всех x∈ ℝ имеет место разложение

где

Например, если , то

Тем самым c точностью

Разложение синуса и косинуса

Для всех имеет место разложение

где

Для всех имеет место разложение

где

Бином Ньютона

Для каждого действительного числа α и для каждого определим биномиальный коэффициент

По определению полагаем также, что . Имеем:

Теорема. Для любого действительного α и для любого имеет место разложение

причем

 

Рассмотрим частные случаи формулы (5).

Случай α =m -- натуральное число. Тогда и мы получаем бином Ньютона

Случай . Тогда нетрудно вывести, что . Поэтому

где

Разложение логарифма

Из (8) или непосредственно нетрудно получить

где