Определение производной
Задача о мгновенной скорости. Рассмотрим материальное тело движущееся по оси Ох. Предположим, что нам известен закон движения – функция 
, задающая координату точки в момент времени 
Фиксируем какой-либо момент времени 
. Поставим задачу об определении и вычислении мгновенной скорости 
в момент времени . Придадим приращение 
времени и найдем соответствующее ему приращение координаты 
. Тогда отношение приращения координаты к приращению времени задает среднюю скорость на временном участке 
:
(1)
Мгновенную скорость определим как предел средней скорости при 
:
Пример. Закон падения тела с высоты без учета сопротивления воздуха задается как 
(
-- ускорение свободного падения). Вычислим скорость тела после 3-х секунд падения:
Задача о касательной. Пусть на плоскости или в пространстве задана некоторая кривая γ и точка P на ней. Требуется определить понятие касательной к γ в точке P. Выберем точку 
на кривой 
, не совпадающую с точкой 
. Проведем через точки и прямую 
, называемую секущей. Касательной в точке P к кривой γ назовем предельное положение секущих , в случае, когда точка Q приближается к точке P, оставаясь на кривой γ. Пусть теперь γ -- график функции 
, и точка P имеет координаты 
. Рассмотрим точку 
. Обозначим 
и назовем эти величины приращением аргумента и приращением функции соответственно. Тогда угловой коэффициент секущей 
будет равен 
и ее уравнение будет
Если 
, то 
, причем 
и секущая (3) переходит в касательную с угловым коэффициентом
Пример. Найдем касательную к кубической параболе 
в точке 
. Имеем
Отсюда получаем ответ: 
или 
. Это и есть уравнение искомой касательной.
Определение. Предел
называется производной функции 
в точке 
.
Функция 
называется дифференцируемой на интервале, если она имеет производную в каждой точке этого интервала.
Можно определить правую производную в точке , рассматривая в (5) правый предел 
. Такая производная обозначается 
. Аналогично определяется левая производная 
Производная 
существует тогда и только тогда существуют и совпадают между собой односторонние производные. Односторонние производные удобно использовать, когда мы говорим о дифференцируемости функции на отрезке 
. Тогда подразумевается, что имеет (двустороннюю) производную в каждой внутренней точке 
, а также имеет односторонние производные 
и 
.
Итак: механический смысл производной -- мгновенная скорость. Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона касательной к графику функции 
в точке .
Уравнение касательной к графику функции 
в точке имеет вид:
а уравнение нормали имеет вид:
в предположении 
. Если же 
, то касательная горизонтальна и задается уравнением 
, а нормаль перпендикулярна оси Ох и задается уравнением 
.
Примеры. 1. 
2. 
. Действительно, 
3. 
. Действительно, 
4. Функция 
в нуле непрерывна, но не имеет производной. Правая производная в нуле равна 1, а левая равна 
.
Предложение 1. Дифференцируемая функция непрерывна.
Действительно, из соотношения 
вытекает, что 
отличается от 
на бесконечно малую величину 
и
Это и означает непрерывность функции в точке . □
Заметим, что непрерывная функция не обязательно будет дифференцируемой, см. выше пример функции в точке 
.
Основные правила дифференцирования.
Д1. Производная константной функции равна нулю: (C)'=0.
Д2. Производная суммы равна сумме производных: 
.
Д3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: 
.
Д4. (правило Лейбница—производная произведения) 
.
Доказательство. 
Здесь мы применили правила предел суммы и предел произведения, а также заменили 
на 
в виду непрерывности функции (см. предложение выше)
Д5. 
; в частности 
.
Докажем утверждение «в частности».
Общий случай следует из этого частного случая в виду правила Лейбница
Д6. (производная сложной функции) 
Обоснуем эту формулу. Придадим приращение 
переменной 
. Тогда 
получит приращение 
Следовательно, получит приращение 
Далее:
Замена 
на 
возможна в силу непрерывности дифференцируемой функции .
Д7. (производная обратной функции}) Пусть 
-- две взаимно обратные функции. Тогда 
.
Действительно, из 
дифференцированием по 
следует соотношение 
, откуда получаем результат.
Таблица производных
| Функция | 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| Производная | 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
| Функция | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| Производная | 
| 
| 
| 
| 
| 
|
|
|
Здесь 
-- гиперболические синус и косинус соответственно. Обоснуем формулу производной синуса:
Здесь мы воспользовались эквивалентностью 
а также непрерывностью функции . Вычислим производную косинуса:
Здесь мы воспользовались формулой производная сложной функции, введя промежуточный аргумент 
и учитывая 
, а 
Производная тангенса:
Производная экспоненты:
Производная логарифма 
считается с применением правила «производная обратной функции»
