Сложение гармонических колебаний

Одного направления и одинаковой частоты.

Биения

 

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы A₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (j₁ - j₂) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

(144.1)

В выражении (144.1) амплитуда Аи начальная фаза jсоответственно задаются соотношениями

(144.2)

 

Рис. 203

 

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j₂ - j₁) складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j₂ - j₁):

1) (j₂ - j₁) = ±2mp(m=0, 1, 2,...), тогда A = A₁ + A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания Аравна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (j₂ - j₁) = ±(2m + 1)p (m = 0,1, 2,...), тогда A = |A₁ — A₂|,т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны wи w + Dw, причем Dw ≪ w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2 ≪ w, найдем

(144.3)

Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой со, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

(144.4)

Частота изменения Аsв два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:

Период биений

Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

 

Рис. 204

 

Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.

Любые сложные периодические колебания s = f (t)можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w₀:

(144.5)

Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье*. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w₀, 2w₀, Зw₀...... называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.