Одного направления и одинаковой частоты.
Биения
Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты
воспользовавшись методом вращающегося вектора амплитуды (см. § 140). Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис. 203). Так как векторы A1 и А2 вращаются с одинаковой угловой скоростью w0, то разность фаз (j1 - j2) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет
(144.1)
В выражении (144.1) амплитуда Аи начальная фаза jсоответственно задаются соотношениями
(144.2)
Рис. 203
Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j2 - j1) складываемых колебаний.
Проанализируем выражение (144.2) в зависимости от разности фаз (j2 - j1):
1) (j2 - j1) = ±2mp(m=0, 1, 2,...), тогда A = A1 + A2, т. е. амплитуда результирующего колебания Аравна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2) (j2 - j1) = ±(2m + 1)p (m = 0,1, 2,...), тогда A = |A1 — A2|,т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны wи w + Dw, причем Dw ≪ w. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:
Складывая эти выражения и учитывая, что во втором сомножителе Dw/2 ≪ w, найдем
(144.3)
Результирующее колебание (144.3) можно рассматривать как гармоническое с частотой со, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:
(144.4)
Частота изменения Аsв два раза больше частоты изменения косинуса (так как берется по модулю), т. е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний:
Период биений
Характер зависимости (144.3) показан на рис. 204, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания (144.3), а огибающие их — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.
Рис. 204
Определение частоты тона (звука определенной высоты (см. § 158)) биений между эталонным и измеряемым колебаниями — наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т. д.
Любые сложные периодические колебания s = f (t)можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте w0:
(144.5)
Представление периодической функции в виде (144.5) связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье*. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами w0, 2w0, Зw0...... называются первой (или основной), второй, третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания.
