Система счисления (СС) – система приемов и правил, которые позволяют устанавливать взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде совокупности конечного числа символов.
В зависимости от способа изображения чисел с помощью цифр системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, которые представляют это число. Цифры в непозиционных системах исчисления отвечают некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – римская система исчисления.
В электронных цифровых устройствах применяются позиционные системы счисления. Позиционной системой счисления называется потому, что значение каждой входящей в число цифры зависит от ее положения в записи числа.
Любая позиционная СС с основанием q может быть представлена в виде полинома:
A (q) = rnqn + rn –1 qn –1 + rn –2 qn –2 + … + r 1 q 1 + r 0 q 0 + r –1 q –1 + …,
где A – число в позиционной СС с основанием q; ri – коэффициент; n – степень и индекс.
Позиционные СС бывают различными в зависимости от основания:
1) Десятичная с основанием 10
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
23610 = 2∙102 + 3∙101 + 6∙100
2) Восьмеричные с основанием 8
[0 1 2 3 4 5 6 7]
2368 = 2∙82 + 3∙81 + 6∙80 = 15810
3) Шестнадцатеричная с основанием 16
[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F]
2АF16 = 2∙162 + A∙161 + F∙160 = 2∙162 + 10∙161 + 15∙160 = 68710
4) Двоичная с основанием 2
[0 1]
10112 = 1∙23 +0∙22 + 1∙21 + 1∙20 = 1110
Таблица 1.3.1 – Методы перевода целых и дробных чисел в десятичную СС
| Тип преобразования | Целые числа | Дробные числа |
| Повторное умножение промежуточного результата на q и сложение со значением разряда данного числа. Первый промежуточный результат есть старший разряд | Повторное деление промежуточного результата на q и сложение с разрядом данного числа. Первый промежуточный результат есть последний разряд, разделенный на q | |
| Двоичное в десятичное | 1∙2 + 1 = 3 3∙2 + 0 = 6 6∙2 + 1 = 13 13∙2 + 1 = 27 27∙2 + 0 = 54 54∙2 + 0 = 108 11011002 = 10810 | 1:2 = 0,5 (0,5 + 1):2 = 0,75 (0,75 + 0):2 = 0,375 (0,375 + 1):2 = 0,6875 (0,6875 + 0):2 = 0,34375 (0,34375 + 1):2 = 0,67187 (0,67187 + 0):2 = 0,33593 0,01010112 = 0,33593 ≈ 0,33610 |
| Десятичное в восьмеричное | 1∙8 + 5 = 13 13∙8 + 4 = 108 1548 = 10810 | 5:8 = 0,625 (0,625 + 0):8 = 0,078125 (0,078125 + 6):8 = 0,75976 (0,75976 + 5):8 = 0,71997 (0,71997 + 2):8 = 0,33999 0,256058 = 0,33999 ≈ 0,34010 |
| Десятичное в шестнадцатеричное | 6∙16 + 12 = 108 6С16 = 10810 | A:16 = 0,625 (0,625 + 0):16 = 0,039062 (0,039062 + 6):16 = 0,75976 (0,75976 + 7):16 = 0,71997 (0,71997 + 5):16 = 0,33999 0,570A16 = 0,33999 ≈ 0,34010 |
Таблица 1.3.2 – Методы перевода целых и дробных чисел из десятичной СС
| Тип преобразования | Целые числа | Дробные числа |
| Деление данного десятичного числа на q. Остатки дают превращенное число, которое читается в обратном направлении | Повторное умножение данного десятичного числа на q. Разряд перед запятой дает разряд превращенного числа. При дальнейшем умножении используется лишь дробная часть промежуточного результата | |
| Десятичное в двоичное | 108:2 = 54 остаток 0 54:2 = 27 остаток 0 27:2 = 13 остаток 1 13:2 = 6 остаток 1 6:2 = 3 остаток 0 3:2 = 1 остаток 1 1:2 = 0 остаток 1 10810 = 11011002 | 0,34∙2 = 0,68 переносится 0 0,68∙2 = 1,36 переносится 1 0,36∙2 = 0,72 переносится 0 0,72∙2 = 1,44 переносится 1 0,44∙2 = 0,88 переносится 0 0,88∙2 = 1,76 переносится 1 0,76∙2 = 1,52 переносится 1 Прерывание 0,3410 = 0,01010112 |
| Десятичное в восьмеричное | 108:8 = 13 остаток 4 13:8 = 1 остаток 5 1:8 = 0 остаток 1 10810 = 1548 | 0,34∙8 = 2,72 переносится 2 0,72∙8 = 5,76 переносится 5 0,76∙8 = 6,08 переносится 6 0,08∙8 = 0,64 переносится 0 0,64∙8 = 5,12 переносится 5 Прерывание 0,3410 = 0,256058 |
| Десятичное в шестнадцатеричное | 108:16 = 6 остаток 12 6:16 = 0 остаток 6 10810 = 6С16 | 0,34∙16 = 5,44 переносится 5 0,44∙16 = 7,04 переносится 7 0,04∙16 = 0,64 переносится 0 0,64∙16 = 10,24 переносится 10 Прерывание 0,3410 = 0,570A8 |
Для перевода чисел из одной СС в другую удобно использовать промежуточное преобразование числа в двоичную СС.
Таблица 1.3.3 – Методы перевода целых чисел из одной СС в другую СС
| Десятичное число | Двоичное число | Восьмеричное число | Десятичное число | Двоичное число | Шестнадцатеричное число |
| A | |||||
| B | |||||
| C | |||||
| D | |||||
| E | |||||
| F |
| Перевод [восьмеричное число] ↔ [двоичное число] | ||||
| 24518 = 010.100.101.001 = 101001010012 | ||||
| Восьмеричные цифры | ||||
| Двоичные триады | ||||
| 1010011110102 = 101.001.111.010 = 51728 | ||||
| Двоичные триады | ||||
| Восьмеричные цифры |
| Перевод [шестнадцатеричное число] ↔ [двоичное число] | |||
| 4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112 | |||
| Шестнадцатеричные цифры | С | ||
| Двоичные тетрады | |||
| 1010001111102 = 1010.0011.1110 = A3E16 | |||
| Двоичные тетрады | |||
| Шестнадцатеричные цифры | A | E |
| Перевод [восьмеричное число] → [двоичное число] → [шестнадцатеричное число] | |||||||
| 24518 = 010.100.101.001 = 101001010012 | |||||||
| Восьмеричные цифры | |||||||
| Двоичные триады | |||||||
| 101001010012 = 0101.0010.1001 = 52916 | |||||||
| Двоичные тетрады | |||||||
| Шестнадцатеричные цифры | |||||||
| 24518 = 010.100.101.001 = 101001010012 = 0101.0010.1001 = 52916 | |||||||
| Перевод [шестнадцатеричное число] → [двоичное число] → [восьмеричное число] | |||||||
| 4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112 | |||||||
| Шестнадцатеричные цифры | С | ||||||
| Двоичные тетрады | |||||||
| 100110001112 = 010.011.000.111 = 23078 | |||||||
| Двоичные триады | |||||||
| Восьмеричные цифры | |||||||
| 4C716 = 0100.1100.0111 = 100110001112 = 010.011.000.111 = 23078 | |||||||
Двоичная арифметика
Арифметические действия над двоичными числами выполняются следующим образом:
| Сложение | Вычитание | Умножение |
| 0 + 0 = 0 | 0 – 0 = 0 | 0∙0 = 0 |
| 0 + 1 = 1 | 1 – 0 = 1 | 0∙1 = 0 |
| 1 + 0 = 1 | 1 – 1 = 0 | 1∙0 = 0 |
| 1 + 1 = 10 | 10 – 1 = 1 | 1∙1 = 1 |
Сложение двух многоразрядных двоичных чисел проводится поразрядно с учетом единиц переполнения от предшествующих разрядов:
Вычитание многоразрядных двоичных чисел, аналогично сложению, начинается из младших разрядов. Если занять единицу в старшем разряде, образуются две единицы в младшем разряде:
Умножение представляет собой многоразовое сложение промежуточных сумм и сдвиги:
Процесс деления состоит из операций вычитания, которые повторяются:
