ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА И ЕГО МОДЕЛИРОВАНИЕ

 

Методические указания к выполнению

лабораторной работы по дисциплине

«ТЕОРИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ САУ»

для студентов специальности 190302 «Вагоны»

всех форм обучения

(4 часа)

 

Составители: Т.Н. Буштрук

 

Самара 2015

УДК 681.51.015

 

Исследование цифровых алгоритмов типовых звеньев: методические указания к выполнению лабораторной работы по дисциплине «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» для студентов специальности 190302 всех форм обучения / Т.Н. Буштрук. – Самара: СамГУПС, 2015. – 10 с.

 

Утверждены на заседании кафедры «Вагоны» 00.00.2015, протокол № 00.

 

Печатаются по решению редакционно-издательского совета СамГУПС.

 

Данное методическое указание разработано в учебно-исследовательской лаборатории «Моделирования систем управления и телекоммуникаций».

Методические указания предназначены для студентов, изучающих дисциплину «Системы автоматизации производства и ремонта вагонов» специальности 190302 всех форм обучения.

 

 

Составители: Буштрук Татьяна Николаевна

 

 

Рецензенты: д.т.н., профессор, заведующий кафедрой «Мехатроника в автоматизированных производствах» О.А. Кацюба;

к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматика, телемеханика и связь

на железнодорожном транспорте» В.Б. Гуменников

 

Редактор И.А.Шимина

Компьютерная верстка Е.Ю. Шарова

 

Подписано в печать10.04.2008. Формат 60x84 1/16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п. л. 0,65.

Тираж 100 экз. Заказ № 44.

 

 

© Самарский государственный университет путей сообщения, 2015

 

 

СИНТЕЗ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА

ЧЕТНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА

ДЛЯ КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА

Введение. В работе [1] описан корреляционно-спектральный метод идентификации квазистационарных процессов сориентированных на применение в системах прогнозирования технических, социальных, геофизических и экономических процессов.

Основными элементами устройств идентификации квазистационарных временных процессов являются четные полосовые фильтры, требования к которым достаточно высоки. Такие фильтры описаны в ряде работ, например в [2,3], однако, фильтры, описанные в них, имеют большое число настроечных параметров (см. [3]). В предлагаемых алгоритмах, обеспечивающих цифровую фильтрацию временных процессов, эти недостатки отсутствуют. В основу синтеза рекуррентных алгоритмов четного полосового фильтра положен метод Z-преобразования, описанный в [4].

Рекуррентный алгоритм. Передаточная функция для четного полосового фильтра имеет вид:

.

Коэффициенты полиномов А ₀ и В ₀ имеют размерность [Гц²], А ₁ и В ₁ – [Гц].

При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,

где .

В соответствии с методом Z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы для четного полосового фильтра определяется соотношением:

,

где , .

Тогда:

;

;

 

;

 

;

;

.

Рекуррентный алгоритм имеет вид:

 

+ ,

 

при начальных условиях х [0] = x [-1] = y [0] = y [-1] = y [-2] = 0.

.

Передаточную функцию W(S) запишем в следующем виде:

,

где [Гц²], - резонансная частота четного полосового фильтра,

С = А ₀/ В ₀, а А ₀= С · В ₀, С- масштабный коэффициент. Перепишем W(S) в следующем виде:

.

Учитывая, что Dw=w_р/ Q, Δ ω – полоса пропускания фильтра на уровне 0.707,

Q – добротность, получим:

.

Вводя отношения m = B ₁/Dw, , где m и d – масштабные коэффициенты, получим:

.

Далее определяем корни характеристического уравнения:

.

Они имеют вид:

,

.

Для осуществления нормировки четного полосового фильтра определяем импульсно-переходную функцию:

,

где L ^-1[·]- обратное преобразование Лапласа. Производная от характеристического полинома имеет вид:

,

,

;

С учетом всех подстановок импульсная – переходная характеристика имеет вид:

.

С ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

Условие нормировки:

[ рад / сек ], [ рад ],

[ рад / сек ], [ рад ],

[ рад ], [ рад ].

При высоких добротностях выражение для импульсной - переходной функции нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

[ рад / сек ],

где Q/m = (2p · d)/(D t · N) [ рад ].

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид:

.

Рекуррентный алгоритм для нормированного четного полосового фильтра имеет вид:

 

Результаты моделирования. Результаты расчета проверки работоспособности алгоритма приведены в таблицах 1, 2 и 3 и на рисунках при воздействии сигнала вида d-функция.

В таблице 1 приведены данные моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

 

Таблица 1

n		n		n		n		n
	4,8557		-2,416		-0,887		3,1256		-3,282
	4,0286		-0,767		-2,324		3,6149		-2,729
	2,6103		0,9646		-3,383		3,5497		-1,776
	0,8260		2,5181		-3,910		2,9506		-0,573
	-1,048		3,6618		-3,838		1,9184		0,6921
	-2,727		4,2312		-3,189		0,6170		1,8289
	-3,963		4,1516		-2,071		-0,752		2,6679
	-4,577		3,4477		-0,663		-1,981		3,0883
	-4,489		2,2377		0,8171		-2,887		3,0350
	-3,726		0,7139		2,1460		-3,341		2,5251

 

Рисунок -1. Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 20, N = 32, m = 1, C = 0.

 

В таблице 2 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

Таблица 2

	4,7138		-1,622		-0,569		1,2941		-1,000
	3,6651		-0,379		-1,301		1,4403		-0,808
	2,1591		0,8260		-1,788		1,3646		-0,513
	0,4506		1,8194		-1,976		1,0948		-0,164
	-1,194		2,4713		-1,861		0,6851		0,1815
	-2,540		2,7121		-1,481		0,2060		0,4750
	-3,413		2,5376		-0,914		-0,267		0,6767
	-3,720		2,0048		-0,255		-0,665		0,7641
	-3,459		1,2186		0,3907		-0,936		0,7330
	-2,711		0,3134		0,9309		-1,049		0,5970

 

Рисунок. – 2 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 5, N = 32, m = 1, C = 0.

В таблице 3 приведены результаты моделирования с параметрами фильтра Q = 2, N = 32, m = 1, C = 0;

 

Таблица 3

	4,4424		-0,829		-0,132		0,1949		-0,096
	3,0306		-0,145		-0,339		0,2212		-0,083
	1,4517		0,4374		-0,462		0,2122		-0,060
	-0,046		0,8556		-0,499		0,1755		-0,033
	-1,271		1,0811		-0,461		0,1211		-0,006
	-2,101		1,1169		-0,365		0,0596		0,0160
	-2,493		0,9919		-0,236		0,0008		0,0327
	-2,471		0,7521		-0,098		-0,047		0,0418
	-2,111		0,4511		0,0294		-0,080		0,0436
	-1,523		0,1414		0,1301		-0,096		0,0390

 

 

Рисунок. -3 Результаты моделирования фильтра с параметрами Q = 2, N = 32, m = 1, C = 0.

 

В таблице 1 Q =20, N =32, m =1, C =0; в таблице 2 Q =5, N =32, m =1, C =0; в таблице 3 Q =2, N =32, m =1, C =0;

 

Теоретическая часть

Передаточная функция для звена любого порядка имеет вид

, где n>m.

 

От передаточной функции W(S) необходимо перейти к передаточной функции эквивалентной импульсной системы:

.

По известным коэффициентам A_m, A_m-1,…,A₀ и B_n, B_n-1,…, B₀ можно определить коэффициенты a₀, a₁,…,a _l и b₁,…,b _k. Используя передаточную функцию эквивалентной импульсной системы, находят разностное уравнение (рекуррентный алгоритм) для моделирования линейных динамических звеньев в классе дробно рациональных передаточных функций.

.

Символ * обозначает, то что эквивалентная импульсная система имеет такие же свойства, как и непрерывная система. Начальные условия задаются следующими формулами x[0]=0, x[-1]=0, x[- l ]=0, y[0]=0, y[-1]=0, y[- k ]=0.

В основу синтеза рекуррентных алгоритмов положен метод z-преобразования. При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции системы формула для импульсной переходной характеристики является суперпозицией экспонент:

,

где .

В соответствии с методом z - преобразования передаточная функция эквивалентной импульсной системы определяется соотношением:

,

где , .

 

В лабораторной работе рассматриваются следующие звенья с передаточными функциями и строятся рекуррентные алгоритмы:

1) Звено первого порядка. Для него имеем:

.

Приравнивая знаменатель этого выражения к нулю, находим корень характеристического уравнения:

.

 

Тогда для звена первого порядка получим:

; ,

где тогда .

, , .

С учетом полученных выражений разностное уравнение для звена первого порядка имеет вид

.

Время переходного процесса для звена первого порядка определяется по следующей формуле:

.

2) Звено второго порядка, передаточная функция которого имеет вид

 

,

корни характеристического уравнения принимают значения: , . С учетом метода z-преобразования имеем:

;

;

;

;

где - относительное время, .

, при C >1.

 

 

С учетом проведенных преобразований записываем передаточную функцию эквивалентной импульсной системы для звена второго порядка

, ,

по которой определяется разностное уравнение:

.

 

Отсюда окончательно получаем:

.

В лабораторной работе рассматривается также вариант передаточной функции для звена второго порядка следующего вида:

.

Эта передаточная функция описывает важный класс звеньев второго порядка типа четных полосовых фильтров. Для нее корни характеристического уравнения имеют вид

, .

Параметры разностных уравнений определяются следующими формулами:

;

;

;

;

где тогда

, при C >1

.

С учетом полученных коэффициентов передаточная функция эквивалентной импульсной системы принимает следующий вид:

,

, .

От эквивалентной импульсной системы осуществляется переход к разностному уравнению:

.

 

Передаточная функция для звена второго порядка может быть представлена еще в одном виде, удобном для физической интерпретации процессов:

,

где [Гц²]. Вводя обозначения, , => (следовательно) , получим:

.

 

Учитывая связь между полосой пропускания (определяемой на уровне 0.707) и добротностью,

,

где Δ ω – полоса пропускания, Q – добротность. Окончательно получим:

,

где ; .

 

Далее определяем импульсно-переходную функцию:

,

где N (S) и M (S) соответственно полиномы числителя и знаменателя W (S), M `(S) производная по S

Отсюда имеем:

.

Для четного полосового фильтра с ростом Q вклад синусоидальных компонент уменьшается.

 

Условие нормировки для четного полосового фильтра определяется следующими соотношениями:

 

[ рад / сек ] [ рад ]

[ рад / сек ] [ рад ]

[ рад ]; ,

где ω_р ×Dt=2×p/N, Dt – шаг дискретизации по времени.

da – коэффициент прорежения; g – коэффициент запаса.

 

[1/ сек ].

По степени экспоненты определяется время переходного процесса как в четном, так и нечетном фильтрах. Отсюда имеем:

 

.

Время переходного процесса полосового фильтра определяется с инженерной точностью.

Условие нормировки для нечетного полосового фильтра определяется следующими соотношениями

 

С условием нормировки формула для передаточной функции четного полосового фильтра принимает вид

 

 

С условием нормировки формула для передаточной функции нечетного полосового фильтра принимает вид