Лекція
Тема: Основні теореми диференціального обчислення
Ціль: Розглянути основні теореми диференціального обчислення, а також їхнє застосування на практиці.
План: 1. Правило Лопиталя
2. Теорема Ферма.
3. Теорема Роля.
4. Теорема Коші.
5. Теорема Лагранжа.
Правило Лопиталя
Функція 
, певна у всіх точках проміжку 
, називається зростаючої (убутної) у цьому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу, що належать цьому проміжку, більшому з них відповідає більше (менше) значення функції, т. е,
якщо 
то при
– зростаюча, 
– убутна.
З даного визначення випливає, що для зростаючої функції приросту аргументу й функції має той самий знак, у силу чого їхнє відношення позитивно: 
. Для убутної функції ці прирости мають різні знаки, у силу чого 
. Ті значення аргументу, при яких функція досягає своїх найбільших і найменших у порівнянні із близькими значень, називаються точками максимуму й мінімуму (точками екстремуму).
Точка 
називається точкою максимуму (мінімуму) безперервної функції 
, а значення 
називається максимумом (мінімумом) цієї функції, якщо існує деяка околиця точки 
така, що значення функції в будь-якій точці цієї околиці буде менше (більше), чим її значення в самій точці , тобто менше (більше), чим максимум (мінімум) (мал. 1).
у max у
min
f (х 0) f (х 0)
О х 0–d х 0 х 0+d х О х 0–d х 0 х 0+d х
| точка максимуму | точка мінімуму |
Рис. 1
З визначень точок екстремуму треба, що поза (-околиці точки екстремуму поводження функції довільно, тобто поняття максимуму й мінімуму функції носять характер локальних (місцевих), а не абсолютних понять.
Щоб установити ознаки зростання й убування й ознаки екстремуму функцій, розглянемо ряд важливих теорем математичного аналізу, на які опираються всі подальші дослідження функцій.
Теорема Ферма. Якщо функція безперервна в проміжку , у деякій внутрішній точці х 0 цього проміжку досягає максимуму (або мінімуму) і дифференцьована в цій точці, то її похідна в цій точці дорівнює нулю: 
.
Припустимо для визначеності, що х 0 – точка максимуму. Тоді для будь-якої точки 
з інтервалу виконується нерівність 
. Тому 
, якщо 
й 
, якщо 
. Переходячи до меж, одержимо
и. 
Обоє нерівності будуть виконуватися, якщо .
Геометричний зміст теореми Ферма полягає в тому, що дотична до графіка функції в точці 
паралельна осі Ох, якщо х 0 – точка максимуму або мінімуму функції на інтервалі (мал. 2).
У точці максимуму (мінімуму) х 0 похідна 
може не існувати (мал. 3)
 у max у
min
f (х 0) f (х 0)
О a х 0 b х О a х0 b х
Рис. 2
| у max min О a х 0 b х Рис. 3 |
Теорема Роля. Нехай функція :
1) безперервна на відрізку 
;
2) дифференцьована на інтервалі ;
3) на кінцях відрізка приймає рівні значення 
.
Тоді існує точка 
, у якій 
. Тому що функція безперервна на відрізку , то вона приймає в деяких точках 
і 
мінімальне й максимальне значення: 
. Якщо 
, то 
й у будь-якій точці інтервалу похідна 
. Тому можемо вважати, що 
. Покладемо 
, якщо 
, і 
, якщо 
. При такому визначенні з маємо 
. Оскільки 
, те 
, тому 
. Отже, з – це точка максимуму або мінімуму функції й . По теоремі Ферма .
Геометричний зміст теореми Роля: на графіку функції найдеться принаймні одна точка, у якій дотична до графіка паралельна осі Ох.
В окремому випадку, коли 
, теоремі Роля можна дати нове тлумачення: між двома нулями дифференцьованой функції завжди укладений принаймні один нуль її похідній.
Теорема Лагранжа. Нехай функція безперервна на відрізку й дифференцируема на інтервалі . Тоді існує така точка , що
. (2)
Формула (4.2) називається формулою кінцевих приростів.
Введемо допоміжну функцію
.
Тоді
1) 
;
2) 
безперервна в тих же точках, у яких безперервна функція , тобто безперервна на й дифференцьована в. По теоремі Роля, існує точка , у якій 
. Тому що 
, те в точці з виконується рівність (2).
Теорема Коші. Нехай функції й 
безперервні на відрізку й дифференцьовані на інтервалі . Нехай, крім того, 
на . Тоді існує точка , така, що
.
Теорема Лагранжа є часткою случаємо теореми Коші, коли 
.
Розкриття невизначеностей за правилом Лопиталя. Розкриттям невизначеностей у математичному аналізі називається відшукання межі 
, коли функція 
безперервна поблизу точки 
, але не визначена в самій цій точці, а безпосередня підстановка у формулу цієї функції значення 
приводить до вираження невизначеного виду:
Основними видами невизначеностей є наступні два: 
.
Для цих двох видів невизначеностей справедлива теорема Лопиталя: межа відносини двох нескінченно малих або нескінченно більших функцій дорівнює межі відносини їхніх похідних
.
Правило Лопиталя дозволяє в багатьох випадках знайти межу 
виду або, як говорять, розкрити невизначеність.
Зауваження 1. Інші види невизначеностей можна звести до основних видів.
Зауваження 2. Правило Лопиталя можна застосовувати повторно.
Приклад. Знайти 
. Це невизначеність виду 
. Представимо дану межу у вигляді 
; це вже буде невизначеність виду 
, до якої застосовне правило Лопиталя.
Тому 
.
Завдання для перевірки знань:
1. Дайте формулювання теореми Ферма.
2. Дайте формулювання теореми Ролля.
3. Дайте формулювання теореми Коші.
4. Дайте формулювання теореми Лагранжа.
5. Для чого використовується правило Лопиталя?
Література:
4. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.178-185
5. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 210-220
6. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.426-430
Додаткова література:
1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.127-133
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 159-167
Розділ: «Похідна функції та її застосування»
Лекція
Тема: Дослідження функцій за допомогою похідної
Ціль: Розглянути схему дослідження функцій за допомогою похідної, навчитися практично досліджувати функції будувати графіки
План: 1. Зростання й убування функції
2. Необхідна й достатня умова екстремуму.
3. Опуклість і ввігнутість функції, крапки перегину
4. Асімптоти графіка функція.
5. Загальна схема дослідження функції.
Зростання й убування функції. Екстремум функції.
Асімптоти графіка функції
У попередньому розділі дані визначення понять зростаючої (убутної) функції на проміжку X.
Достатня умова зростання (убування) функції формулюється в такий спосіб: якщо функція діференцьована в проміжку і її похідній у цьому проміжку позитивна (негативна), те сама функція в цьому проміжку зростає (убуває). Доказ даної теореми засновано на застосуванні на відрізку теореми Лагранжа.
Необхідна умова екстремуму функції: у точці екстремуму або похідна функції дорівнює нулю, або функція недіференцьована. Точки з області визначення функції, у яких необхідна умова екстремуму виконана, і в які, отже, тільки й можливий екстремум, називаються критичними (або стаціонарними). Помітимо, що зворотне твердження в загальному невірно. Критична точка не обов'язково є точкою екстремуму. Судити про те, буде дана критична точка точкою екстремуму чи ні, можна на підставі достатніх умов екстремуму. Одне з них затверджує, що, якщо при переході через критичну точку похідна функції міняє свій знак із плюса на мінус, те ця точка - точка локального максимуму, а якщо з мінуса на плюс, то точка локального мінімуму. Існують і інші формулювання достатньої умови екстремуму, що використовують поняття вищих похідних.
Варто розрізняти поняття екстремуму функції і її найбільше й найменше значення на заданому відрізку зміни аргументу. Найбільше або найменше значення функції може досягатися як у точках екстремуму, так і на кінцях відрізка. Для відшукання найбільшого (найменшого) значення функції на відрізку варто знайти її похідну, визначити критичні точки, знайти значення функції в цих точках і на кінцях відрізка й вибрати з них найбільше (найменше).
Опуклість і точки перегину графіка функції. Графік функції називається опуклим (увігнутим) на проміжку , якщо він розташований не вище (нижче) будь-якій дотичній до графіка функції на (мал. 1).
Точка 
, що розділяє інтервали опуклості й увігнутості, називається точкою перегину графіка функції (мал. 2).
  у
О а b х
| у О a b х | у
О x 0 х
|
| Рис. 1 | Рис. 2 |
Достатньою ознакою опуклості (увігнутості) графіка функції усередині деякого проміжку є негативне (позитивне) значення другої похідної даної функції на цьому проміжку.
У точці перегину друга похідна двічі діференцьованої функції дорівнює нулю. Це є необхідною умовою перегину. Достатньою ознакою наявності точки перегину є зміна знака другої похідної функції при переході через дану точку.
Асімптоти графіка функції. У загальній задачі дослідження характеру зміни функції важливе значення має дослідження поводження при необмеженому зростанні (по абсолютній величині) аргументу х, а також дослідження випадків необмеженого зростання абсолютної величини в кінцевій частині області визначення. Геометрично ці дослідження приводять до поняття асімптоти графіка.
Асімптотой графіка функції називається пряма лінія, до якої необмежено наближається гілка, що йде в нескінченність, графіка (мал. 3).
Розрізняють три види асімптот: вертикальні, горизонтальні й похилі.
у
уас
укр
ПРО х
Рис. 3
| Нехай пряма є похилої асімптотой графіка функції . Для відшукання кутового коефіцієнта k і початкової ординати b асімптоти використовується умова
|
,
звідки
, тому що 
.
Далі визначається 
.
В окремому випадку 
асимптот буде горизонтальною. Пряма називається вертикальної асімптотой графіка функції , якщо хоча б одне із граничних значень 
або 
дорівнює 
або 
.
Загальна схема дослідження поведінки функції й побудови її графіка
Рекомендується дослідження функцій проводити в певній послідовності.
1. Знайти область визначення функції; крапки розриву і їхній характер; вертикальні асімптоти графіка.
2. Визначити можливий тип симетрії функції (парність, непарність функції); крапки перетинання графіка функції з осями координат, тобто вирішити рівняння 
й 
.
3. Знайти похилі й горизонтальні асімптоти графіка функції.
4. Використовувати першу похідну для визначення області зростання й убування й екстремумів функції.
5. Використовувати другу похідну для визначення ділянок опуклості й увігнутості графіка й точок перегину.
6. Побудувати графік функції з урахуванням проведеного дослідження.
Завдання для самоперевірки
- Необхідні та достатні умови зростання і убування функції
- Необхідна й достатня умова екстремуму.
- Опуклість і ввігнутість функції, крапки перегину.
- Асімптоти графіка функція.
- Побудувати графік функції
Література:
7. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.212-231
8. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 229-260
9. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.432-452
Додаткова література:
1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.142-146
2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 221-248
