Исследование функций и построение графиков

Введение

Производная находит широкое применение при решении различных задач. В настоящей методической работе приведен необходимый материал без доказательства, который проиллюстрирован примерами. Далее приведены примеры для самостоятельного решения. Нами рассмотрены теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Теоремы Лопиталя-Бернули для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов, формула Тейлора и применение производной для исследования функций.

Для понимания материала и решения задач студенту необходимо знать таблицу производных и правила дифференцирования функций. Методическая работа может быть использована студентами и преподавателями на практических занятиях по данной теме.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале и на концах отрезка принимает равные значения, т.е. , то существует точка такая, что . Точки, в которых , называются стационарными точками функции .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале , то существует точка такая, что справедливо равенство

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы в интервале и , то существует точка такая, что

Решить следующие задачи:

1. Функция имеет на концах отрезка равные значения (проверьте). Производная данной функции в интервале не обращается в нуль ни в одной точке (проверьте). Какие условия Теоремы Ролля для данной функции на отрезке не выполнены?

2. Пусть . Показать, что три корня уравнения действительны.

3. Доказать, что уравнение не имеет корней в интервале .

4. Пусть в интервале . Доказать, что на .

5. Пусть и удовлетворяют всем условиям Теоремы Коши на . Применим Теорему Лагранжа к функциям и , тогда получим . Из последних двух равенств получим:

(Формула Коши)

Найти ошибку в доказательстве.

Теоремы Лопиталя-Бернулли

Раскрытие неопределённостей типа и

Первая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:

1) Функции и дифференцируемы в промежутке и

3) Существует предел . Тогда

Вторая теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть для функций и выполнены условия:

1) Функции и дифференцируемы в промежутке , причем

3) Существует предел . Тогда

Замечание. Теоремы Лопиталя-Бернулли справедливы и при .

Пример 1. Вычислить предел .

Решение.

Пример 2. Вычислить предел .

Решение.

Этот пример показывает, что степенная функция даже с очень большим показателем при растет медленнее, чем показательная функция.

Раскрытие неопределённостей типа

Неопределённость типа возникает при нахождении пределов от произведения двух функций, т.е. , где , а . В этом случае произведение записывают так, чтобы можно было воспользоваться первой или второй теоремой Лопиталя-Бернулли.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В данном примере неопределённость , которую сведём к неопределённости и применим вторую теорему Лопиталя-Бернулли.

Пример 4. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость .

Мы воспользовались соотношением при . Применяя далее первую теорему Лопиталя-Бернулли, получим:

Неопределённости вида возникают при вычислении пределов . Для вычисления данного предела предварительно вычисляют предел . Отсюда следует, что .

Таким образом, раскрытие неопределенностей сводится к раскрытию соответственно неопределённостей , которые в свою очередь могут быть сведены к раскрытию неопределённостей или с применением соответствующих теорем Лопиталя-Бернулли.

Пример 5. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость . Предварительно вычислим предел . В данном случае мы использовали соотношение , и результат примера 3.

Пример 6. Вычислить предел .

Решение. Имеем неопределённость . Логарифмируя и применяя теорему Лопиталя-Бернулли, получим:

Отсюда имеем: .

Найти следующие пределы

6.	14.	22.
7.	15.	23.
8.	16.	24.
9.	17.	25.
10.	18.	26.
11.	19.	27.
12.	20.	28.
13.	21.	29.

Формула Тейлора

Если функция в некоторой окрестности точки имеет производную, то для любого из этой окрестности справедлива формула Тейлора

или

где (по определению). Точка расположена между и . В данном случае остаточный член записан в форме Лагранжа.

Полагая в формуле Тейлора , получим формулу Маклорена.

Пример 7. Многочлен разложить по степеням .

Решение. Так как данный многочлен имеет степень 3, то все производные порядка выше 3 будут тождественно равны нулю. В данном случае .

По формуле Тейлора имеем:

Написать формулу Маклорена при для функций

Написать формулу Тейлора при для функций

Формула Тейлора (в частности Маклорена) часто используется в приближённых вычислениях.

или

При этом ошибка равна , где точка расположена между и .

Пример 8. Вычислить с точностью .

Решение. Рассмотрим функцию , которая бесконечное число раз дифференцируема на всей числовой оси, при этом . Поэтому для функции можно написать формулу Маклорена при любом .