Розтягнутий стержень деформується, як це зображено на рисунку 2.1, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини та (при стиску було б та ).

Вступ

 

Навчальними планами для студентів факультету Управління процесами перевезень і механічного факультету (спеціальностей “Теплоенергетика”, “Електричний транспорт”, “Електричні системи і комплекси”) передбачено вивчення дисципліни “Прикладна механіка”, яка розглядається як одна з основних складових загальноінженерної підготовки майбутніх фахівців транспорту. Це визначає відповідні вимоги до методичного забезпечення навчального процесу, особливо в умовах організації самостійної роботи студентів при впровадженні кредитно-модульної системи.

Певними труднощами при створенні такого методичного забезпечення є вирішення проблеми його універсальності при максимальному урахуванні особливостей кожної спеціальності і спеціалізації, за якими ведеться підготовка студентів.

Для вирішення цієї проблеми на кафедрі “Механіка і проектування машин” впроваджено відповідний методичний підхід. Він полягає у розробці інформаційно-довідкових робочих конспектів для студентів різних спеціальностей, які забезпечують кероване самостійне вивчення дисципліни “Прикладна механіка” на основі використання базового конспекту лекцій (охоплює усі розділи робочих програм).

Базовий конспект лекцій з дисципліни “Прикладна механіка” складається з трьох частин – “Основи розрахунків на міцність”, “Основи проектування машин”, “Основи конструювання деталей машин”. Даний конспект лекцій є першою частиною базового конспекту лекцій з дисципліни “Прикладна механіка”, який містить усі основні тематичні модулі, що виділені у робочих програмах цієї дисципліни для студентів усіх спеціальностей.

З метою найбільш повного урахування особливостей висвітлення окремих розділів дисципліни для студентів різних спеціальностей, в його розробці і рецензуванні приймали участь провідні викладачі випускних кафедр академії.

Зміст

 

Вступ……………………………………………………………………..
1 Основні поняття………………………………………………………
2 Розрахунки на міцність при деформації “розтяг-стискання”……...
3 Дослідне вивчення механічних властивостей матеріалів…………
4 Розрахунки на міцність при деформації “зсув”…………………….
5 Геометричні характеристики плоских перерізів…………………...
6 Розрахунки на міцність при деформації “кручення”………………
7 Розрахунки на міцність при “згинанні”……………………………
8 Елементи теорії напруженого та деформованого стану у точці та основні теорії міцності………………………………………………….
9 Розрахунок на стійкість……………………………………………...
10 Розрахунки на витривалість………………………………………..
11 Приклади розв’язання інженерних задач з розрахунків на міцність……………………………………………………………………...
Список літератури………………………………………………………

 

 

ОСНОВИ РОЗРАХУНКІВ НА МІЦНІСТЬ

 

Основні поняття

 

В основах розрахунків на міцність розглядаються і вирішуються на рівні інженерних методів питання про міцність, жорсткість та стійкість елементів конструкцій (деталей машин та споруд).

Міцність – здатність конструкцій (також матеріалів, з яких вони виготовлені) опиратися руйнуванню під дією навантажень (також температурних, електромагнітних полів і інших зовнішніх факторів).

Жорсткість – здатність конструкцій опиратися деформуванню (зміні форми і розмірів) під дією навантажень.

Стійкість – здатність конструкцій утримувати початкову форму рівноваги. Як приклад втрати стійкості слід навести викривлення тонкого прямолінійного стержня, що знаходиться під дією стискальних сил.

Типовими задачами розрахунків на міцність є:

1) задача аналізу (перевірка міцності та жорсткості): при заданих навантаженнях визначити напруження і деформації та перевірити, чи не перевищують вони допустимих значень;

2) задача синтезу (проектувальні розрахунки): підбір матеріалів та визначення розмірів елементів конструкцій при заданих навантаженнях;

3) розрахунок вантажопідйомності: при заданих параметрах конструкції визначення граничних або руйнівних навантажень.

Вперше питання про розрахунок на міцність було розглянуте у роботах відомого італійського вченого Галілео Галілея. Значний внесок в розвиток розрахунків на міцність зробили відомі вчені: Леонард Ейлер,
Д.І. Журавський, Ф.С. Ясинський, С.П. Тимошенко, М.М. Бєляєв,
О.М. Крилов, С.В. Серенсен, Г.С. Писаренко та інші.

При розрахунках на міцність враховуються тільки головні фактори і особливості форми. При цьому реальна конструкція замінюється спрощеною моделлю, що має назву розрахункова схема.

Відповідно геометричній формі деталей будують 3 види розрахункових схем (моделей):

Брус (одновимірна схема) – тіло, у котрого довжина значно більше розмірів поперечного перерізу. Прямий брус, що зазнає розтягу або стиску називається стержнем. Якщо брус працює на згин, то його називають балкою, а на кручення – валом.

Оболонка (двовимірна схема)– тіло, обмежене двома криволінійними поверхнями, відстань між якими (товщина оболонки) значно менше інших розмірів. Пластина – оболонка з плоскими поверхнями.

Масив (тривимірна схема)– тіло, у якого всі три характерні розміри одного порядку, тобто для якого не можуть бути прийняті попередні схеми.

Найбільш простою схемою, найчастіше застосовуваною при інженерних методах розрахунків на міцність, є брус.

В процесі роботи машин та споруд їх деталі сприймають різноманітні навантаження, або різні сили, моменти сил. На розрахункових схемах певні елементи конструкцій відокремлюються від інших. Дія тих об’єктів, які не увійшли до розрахункової схеми, враховується так званими зовнішніми силами.Наприклад, на рисунку 1.1 зовнішніми є прикладені до стержня сили , , …, .

Зовнішні сили підрозділяють на об'ємні та поверхневі.

Об’ємні сили прикладені до кожної частки матеріалу деталі. Ці сили можуть бути обумовлені дією гравітаційного поля (сили ваги), електромагнітного поля або прискореним рухом деталі (сили інерції).

Поверхневі сили можуть моделюватися на схемі як зосереджені, якщо вони діють на площині, розміри котрої малі у порівнянні з розміром елемента конструкції, та розподілені, прикладені по довжині або площі елемента конструкції. Прикладом зосередженої сили є тиск колеса вагона на рейку, а розподіленої – тиск газів у циліндрі поршневої машини.

У функції часу навантаження розподіляються на постійні та тимчасові, змінні та повторно-змінні (циклічні).

В залежності від того, чи викликають навантаження суттєві прискорення, їх розподіляють на статичні та динамічні.

Статичні навантаження залишаються незмінними і тому не викликають прискорень (). Квазістатичними називають сили, які змінюються дуже повільно, тому викликані ними прискорення дуже малі () і можна нехтувати ними.

Динамічні навантаження – такі, що викликають значні прискорення. Зокрема, прикладом динамічних навантажень можуть бути: раптові, які дуже швидко сягають своєї повної величини (тиск колеса локомотива, коли він заїжджає на міст); ударні – діють на протязі дуже короткого проміжку часу; повторно-періодичні (циклічні).

Щодо фізичних властивостей матеріалу, то його вважають у більшості інженерних моделей суцільним, однорідним, ізотропним та деформівни́м

Суцільність – припущення, згідно з яким властивості матеріалу моделі розповсюджуються на нескінченно малі об’єми і не враховується дискретна, атомістична структура речовини. Вважається також, що суцільність не порушується при деформуванні тіла.

Однорідність матеріалу означає однакові його властивості у всіх точках тіла (деталі).

Ізотропність означає, що у будь-якій точці тіла властивості матеріалу однакові по різних напрямках. Прикладом анізотропного матеріалу є деревина, у котрого міцність уздовж і впоперек волокон різна.

Деформований матеріал – це матеріал здатний до деформування. Поняття, пов’язані з цим, розглядаються більш детально нижче.

Необхідним етапом оцінки міцності та жорсткості деталі є аналіз внутрішніх сил. Для визначення внутрішніх сил використовується метод перерізів. Суть цього методу визначається послідовністю таких операцій (рисунок 1.1):

 

 

Рисунок 1.1 – Метод перерізів. Внутрішні силові фактори.

 

1) умовно робимо переріз у місці визначення внутрішніх сил;

2) відкидаємо одну з двох частин перерізаної деталі;

3) дію відкинутої частини на залишену замінюємо внутрішніми силами. Ці сили зрівноважуються зовнішніми силами, що прикладені до залишеної частини;

4) визначаємо невідомі внутрішні сили з рівнянь рівноваги.

У загальному випадку просторової задачі система внутрішніх сил (рисунок 1.1 б) зводиться до головного вектора сил , прикладеного у центрі ваги перерізу, та головного моменту , які розкладаємо по осях координат

; . (1.1)

Шість внутрішніх силових факторів, що виникають у перерізі деталі в загальному випадку, мають такі назви:

– подовжня сила (або нормальна);

- поперечні сили;

– крутний момент;

– згинальні моменти.

Для визначення невідомих внутрішніх силових факторів (ВСФ) використовують шість рівнянь рівноваги статики:

(1.2)

Задача вважається статично невизначуваною, якщо неможливо лише за допомогою методу перерізів та рівнянь рівноваги (1.2) винайти ВСФ. Вирішення таких задач неможливе без додаткового аналізу деформованого стану деталі або споруди. Поняття деформацій розглядається нижче.

Одним із головних понять основ розрахунку на міцність є механічне напруження.

Напруження є локальною мірою внутрішніх сил і характеризує їх інтенсивність на нескінченно малій площадці перерізу.

Одиницею вимірювання механічних напружень є Паскаль (). Ця одиниця дуже мала, тому часто використовують кратні одиниці МегаПаскаль () та ГігаПаскаль (). Для доброї уяви про величину напружень, оскільки йдеться про нескінченно малу площадку, може бути корисним співвідношення .

Розглянемо переріз тіла (рисунок 1.2). Взагалі положення перерізу визначається напрямком зовнішньої нормалі до нього. На рисунку 1.2 маємо переріз з нормаллю (поперечний переріз стержня).

В околиці довільної точки виділимо елементарну площадку , а рівнодіючу внутрішніх сил на цій площадці позначимо .

Тоді повним напруженням в точці на площадці з нормаллю називають відношення

(1.3)

Складові повного напруження мають такі позначення і назви:

– нормальне напруження (по нормалі х до перерізу);

, – дотичні напруження (лежать в площині перерізу).

Модуль повного напруження на площадці з нормаллю

(1.4)

На відміну від звичайних векторів, недостатньо знати величину та напрямок вектора , необхідна також його „прив’язка” до відповідної площадки. Тому вектор повного напруження є вектором другого рангу, і з цим, зокрема, пов’язана подвійна індексація його складових , (перший індекс вказує нормаль до перерізу, а другий – напрямок дотичного напруження).

Напруження залежить від орієнтації перерізу. Сукупність напружень, що діють по різних площадках, проведених через точку, характеризують напружений стан у точці.

Змінювання форми і розмірів деталі або споруди від дії зовнішніх сил або теплового впливу називається деформуванням.

Деформація є мірою (кількісною характеристикою) деформування.

Геометрично деформації поділяють на лінійні і кутові .

Лінійна деформація характеризує відносне подовження або скорочення нескінченно малого відрізку, уявно відкладеного у відповідному напрямку із заданої точки.

Кутова деформація є зміною початкових прямих кутів.

За фізичною ознакою деталь може деформуватися пружно чи пластично.

Пружне деформування – таке, що після повного розвантаження деталь повертається до своєї початкової форми і розмірів, а при пластичному деформуванні – не повертається. Відповідно до цього, деформації, які зникають після розвантаження, називають пружними, а ті, що залишаються – пластичними (або залишковими).

Розрізняють 4 прості види навантаження бруса і відповідних їм видів деформування:

· Розтяг або стиск (). Характеризуються подовженням або вкороченням бруса ().

· Зсув (). Характеризується відносним паралельним зміщенням двох суміжних поперечних перерізів.

· Згин (). Супроводжується викривленням осі бруса і характеризується у кожному перерізі величиною прогину та кута повороту .

· Кручення (). Характеризується кутом взаємного закручування перерізів відносно осі бруса.

Комбінація простих видів навантаження (деформування) бруса називається складним навантаженням (деформуванням).

Багаторічні експериментальні дослідження та досвід розрахунків на міцність дозволили фахівцям в додаток до розглянутих раніше гіпотез щодо матеріалу сформулювати кілька основних принципів, які є загальноприйнятими та спрощують розрахунки:

Принцип початкових розмірів. Малі деформації і переміщення деталі (споруди) не враховуються при складанні рівнянь рівноваги. Тобто деталь розглядається як недеформована, але тільки на етапі статичного аналізу.

Принцип суперпозиції або незалежності дії сил. Якщо деформації (напруження) змінюються пропорційно до навантажень (лінійність системи), то можна у довільному порядку додавати деформації (напруження), що виникли від дії окремих сил. Загальний деформований (напружений) стан деталі не залежить від порядку прикладання зовнішніх сил.

Принцип Сен-Венана. Якщо довільне навантаження прикладене в області, розмір якої малий у порівнянні з розмірами деталі, то деформований (напружений) стан у точках, віддалених від місця навантаження на чи більше, практично не залежить від конкретного способу прикладання навантаження. Таким чином, наприклад, розподілені сили, прикладені в малій області, можна замінити в розрахунковій схемі зосередженою рівнодіючою силою.

Про деякі інші припущення та гіпотези йдеться далі у відповідних розділах посібника.

Більшість реальних задач в галузі розрахунків на міцність є статично невизначеними що ускладнює розрахунки величин внутрішніх сил і напружень і обумовлює необхідність додаткового аналізу деформованого стану деталі. І навпаки, деформації не можуть бути розраховані окремо від напружень.

Розглянемо в загальних рисах основний універсальний метод, за допомогою якого принципово можливо розв’язати будь-які задачі механіки твердого деформівно́го тіла. Згідно з цим методом задача повинна розглядатися з трьох сторін (рисунок 1.3):

 

 

Рисунок 1.3 – „Опорний сигнал” щодо основного методу
механіки твердого деформованого тіла (МТДТ)

 

Статична сторона задачі, де

· розглядаються – внутрішні силові фактори та напруження , ;

· основна ідея– ідея рівноваги будь-якої уявно відокремленої частини деталі (конструкції);

· реалізація– у вигляді рівнянь рівноваги.

Геометрична сторона задачі, де

· розглядаються – переміщення та деформації , ;

· основна ідея– ідея узгодженості деформацій будь-яких суміжних частин деталі (конструкції);

· реалізація – у вигляді рівнянь сумісності деформацій.

Фізична сторона задачі, де

· розглядаються – деформівні́ властивості матеріалу, які характеризуються фізичними пружними константами, такими як модуль подовжньої пружності , модуль зсуву , коефіцієнт Пуассона (фізичний смисл цих величин ми будемо розглядати в подальшому);

· основна ідея– ідея взаємозалежності напружень і деформацій;

· реалізація – у вигляді рівнянь Гука або інших законів деформування, які зв’язують між собою напруження і деформації і до яких входять вищезгадані фізичні константи.

Статичні, геометричні та фізичні рівняння сукупно складають так звану розв’язувальну систему рівнянь, з якої принципово можливо визначити всі невідомі: напруження і деформації.

Рисунок 1.3 є так званим „опорним сигналом”, який за допомогою асоціацій, коротких підказок, абревіатур та ін. допомагає краще запам’ятати та зрозуміти суть питання (у нашому випадку суть основного методу).

У подальших розділах посібника, при вивченні розтягу, згину, кручення брусу, ми неодноразово будемо користуватися цим основним методом МТДТ.

 

2 Розрахунки на міцність при деформації “розтяг-стискання”

Осьовим (центральним) розтягом або стиском брусу – називається такий простий вид навантаження, при якому єдиним внутрішнім силовим фактором у поперечному перерізі цього стержня є внутрішня подовжня сила .

Простіше за все цей вид навантаження можна реалізувати, якщо прикласти до стержня зовнішні сили , лінія дії котрих збігається з його віссю (рисунок 2.1 а).

 

 

Рисунок 2.1 – Модель розтягу брусу

 

Для визначення внутрішньої подовжньої сили застосуємо метод перерізів (рисунок 2.1 б).

З умов рівноваги уявно відрізаної частини стержня отримаємо: .

У загальному випадку, коли зовнішніх сил декілька, маємо правило:

Подовжня сила у поперечному перерізі стержня чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь стержня зовнішніх сил, розташованих
з однієї сторони перерізу.

Правило знаків: , якщо вона розтягує (направлена від перерізу);

, якщо вона стискає (направлена до перерізу).

У поперечних перерізах діють тільки рівномірно розподілені (гіпотеза Бернуллі) нормальні напруження σ, що можуть визначатися за формулою

, (2.1)

де – площа перерізу.

Розтягнутий стержень деформується, як це зображено на рисунку 2.1, і змінює свої подовжні та поперечні розміри на відповідні величини та (при стиску було б та).

Відносні деформації:

подовжня (2.2)

поперечна (2.3)

Експериментально встановлено, що в межах пружних деформацій для кожного матеріалу зберігається постійне відношення

(2.4)

Ця пружна константа називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона.

Для будь-яких ізотропних матеріалів . Для більшості конструкційних матеріалів ; для пробки ; для гуми, рідини, а також при пластичних деформаціях твердих тіл можна прийняти .

Експерименти свідчать, що при навантаженні у відповідних межах для більшості матеріалів можна прийняти:

. (2.5)

Ця залежність має назву закон Гука і формулюється таким чином:

Нормальні напруження прямо пропорційні лінійним деформаціям.

В формулі (2.5) – модуль подовжньої пружності або модуль пружності першого роду. Він характеризує властивості матеріалу опиратися пружному деформуванню, тобто чим більший модуль , тим менше деформується матеріал. Оскільки – безрозмірна величина, то одиниці вимірювання ті ж, що і у , тобто Паскаль.

Для конструкційних сталей приймають , для міді .

Якщо в формулу (2.5) закону Гука підставити значення та згідно з (2.1) і (2.2), то отримаємо запис закону Гука для визначення абсолютних деформацій

. (2.6)

В цій формулі добуток називається жорсткістю при розтягу.

Слід відзначити, що формулою (2.6) можливо користуватися на ділянці стержня, в межах якої і залишаються постійними.

Формула для перевірки умов міцності при деформації що розглядається наведена у розділі 3.