: n1, n2, nk 1, 2, P3, Pk. S1, S2, S3,. Sm. ij ( j, Si) bij j Si .
( ), .
ij , Si j (i=1.2.3..m, j=1.2.3..n).
, :
x1,1+ x1,2 +x1,3 + . + x1,k ≤ T
x2,1+ x2,2 +x2,3 + . + x2,k ≤ T
x3,1+ x3,2 +x3,3 + . + x3,k ≤ T (4)
xm,1+ xm,2 +xm,3 + . + xm,k ≤ T
, :
a11x11+a21x21+. + am1xm1 ≤ n1
a12x12+a22x22+ +am2xm2 ≤ n2
. (5)
a1kx1k+a2kx2k++amkxmk ≤ nk
, ij≥0, (i=1.2.3..m, j=1.2.3..k) (6)
L= b1kx1k+b2kx2k++bmkxmk →min (7)
, :
=(x11,x12,x13,.,xmk), (4) (6), .
6. - .
.
ֳ : ᒺ , ? , , , .
, , , , 1936 . .
, n.
: . , . i, j, ij ,
i - j- .
, .. | |||||||
j | N | ʳ | |||||
x11 | x12 | x13 | x1n | y1 | X1 | ||
x21 | x22 | x23 | x2n | y2 | X2 | ||
x31 | x32 | x33 | x3n | y3 | X3 | ||
I | ... | ||||||
N | xn1 | xn2 | xn3 | xnn | yn | Xn | |
v1 | v2 | v3 | vn | v | - | ||
, . . | m1 | m2 | m3 | mn | m | - | |
, . . | X1 | X2` | X3 | Xn | - | X |
. . 1- 㳿, . 11 㳿, 1- . x12 㳿. 11, x21, 31,..., n1 - .
|
|
, . , 1- v1 () m1. , , (, 1). , :
1=11+21+31++n1+v1+m1 = (8)
i :
X (9)
, ᒺ .
1 = 11+12+13+ +1+y1 =
-
i= (10)
(9) (10), , :
(11)
(11) , .
I , .
II , . , , , .
III .
IV .
.
(12)
- ;
ij
, .
Z = Z + Z
(12) :
(13)
(10) xij:
i= (14)
:
(15),
г (15) :
, (15*)
:
(16)
= . :
(17)
(17) :
(18)
i :
(19)
, Y (16). . . , , , .
|
|
, 䒺 . : λmax<1.
.
, ?
?
?
?
?
?
.
.
.
.
.
?
, .
.
3.
2
: ().
: , , .
1. .
2. .
3. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. ().
1. ( ) f gi, , , 䒺, , , :
f(x)= c1x1 + c2x2 + . + cnxn →extr (max/min) (1)
a11x1 + a12x2 + a13x3 + .. +a1nxn{ ≤ = ≥ }b1
a21x1 + a22x2 + a33x3 + ..+ a2nxn{ ≤ = ≥ }b2
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn{ ≤ = ≥ }bk (2)
am.1x1 + am.2x2 + am.3x3 + am.nxn { ≤ = ≥ } bm
xi≥0 i= 1,m (3)
, .
2. , (2) (3).
3. , (2) ≤ (2.3), max f, (2) ≥ (3), min f.
䒺 .
, :
f(x)=c1x1 + c2x2 + c3x3 + +cnxn →max
z(x) = - f(x) = -(c1x1 + c2x2 + c3x3 + +cnxn) →min
(2) (3) . n- , , . , .
|
|
, , . , , .
:
f(x)=(c,x) →max (4)
= (5)
≥0 (6)
(,)
( )
.
RangA=k ( ), ().
г , , .
䒺 .
, , .
2. .
:
F(x)=(c,x) →max (7)
x1P1 + x2P2 + x3P3 + + xnPn= P0 (8)
X≥0 (9)
P1= (a11,a21,31.am1), P2= (a12,a22,32.am2), .. Pn= (a1n,a2n,3n.anm),
P0=(b1,b2, b3. bm) m- .
4. =(1,2,3.n) , j, xj , .
j m- , , m.
5. 1, 2, 3, , n Rn. λ11+ λ22+ λ33+...... + λnn, λi≥0 ∑ λi=1.
6. U , n 1, 2 , Xn U, U , [ λ11+ λ22+ λ33+...... + λnn] U, λi≥0 ∑ λi=1.
7. , n .
1. n .
2. , .
8. , .
3. , .
, .
4. ( ). =(1,2,3.., ....... n), , , j, j, .
:
1. .
2. - .
3. .
4. , .
3. .
: k
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn= bk (k=1,.m)
n 1,2,3.., ....... n , k
|
|
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn ≤ bk (k=1,.m), n , . (2) (3), , . .
n=2.
1. .
21 + 32≤12
21 - 2≤4
1,2≥0
) z =31 + 2→max
b) z =1 + 52→max
c) z =41 + 62→max
1. .
( , , ). (3) . () , .
.
( ), (1) .
(1) .
, .
2. N=(c1,c2). (1).
3. N=(c1,c2) .
4. .
N , .
5. .
, () (1) .
:
Z=f(x1, x2) →max/min (10)
gk(x1,x2)≤ bk =1,2,......m (11)
x1,x2≥0 (12)
f gk .
(10) (12) .
˳ , f(x1, x2)=c:
- f(x1, x2)=c=const ;
- f(x1, x2)=(1)2 +(2)2 = c =const r=(c)1/2;
- f(x1, x2)=a(1)2 +b(2)2 = c =const .
.
1. .
2. f(x1, x2)=c.
3. () - () .
4. , () .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
?
.
.
.
?
.
3.
3
: -.
: , .
1. .
2. .
3. -.
4. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
|
|
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. .
f(x)= c1x1 + c2x2 + . + cnxn →extr (max/min) (1)
a11x1 + a12x2 + a13x3 + .. +a1nxn{ ≤ = ≥ }b1
a21x1 + a22x2 + a33x3 + ..+ a2nxn{ ≤ = ≥ }b2
ak1x1 + ak2x2 + ak3x3 + .+ aknxn{ ≤ = ≥ }bk (2)
am.1x1 + am.2x2 + am.3x3 + am.nxn { ≤ = ≥ } bm
xi≥0 i= 1,m (3)
:
f(x)=(c,x) →max (4)
= (5)
≥0 (6)
(,)
( )
.
:
F(x)=(c,x) →max (7)
x1P1 + x2P2 + x3P3 + + xnPn= P0 (8)
X≥0 (9)
P1= (a11,a21,31.am1), P2= (a12,a22,32.am2), .. Pn= (a1n,a2n,3n.anm),
P0=(b1,b2, b3. bm) m- .
2. . -.
, ( ) ( ). , ( , , ).
:
;
(- ).
Z=∑cixi →max
1e1+ 2e2+ 3e3 + .. + mem + m+1Pm+1 + .. + nPn=P0,
ei , Pk = (a1k, a2k,.. amk) (k=m+1,m+2,. n), P0 = (b1, b2, bm)
m i , ,
b1e1+ b2e2+ b3e3 + .. + bmem =P0.
: X=(b1,b2,b3, .. bm, 0.0), . .
1.
i | 0 | c1 | c2 | m | cm+1 | cn | ||||
P1 | P2 | Pm | Pm+1 | Pn | ||||||
P1 | c1 | b1 | a1m+1 | a1n | ||||||
P2 | c2 | b2 | a2m+1 | a2n | ||||||
... | ||||||||||
m | Pm | m | bm | amm+1 | amn | |||||
Δj | Δm+1 | Δn |
. :
Δj=∑ciaij cj, (j=1,2, . n) Δ0=∑cibi. .
, .
3. -.
1.
Pj, ,
Δj<0, (j=1,2,3..n) ( )
Δj>0, (j=1,2,3..n) ( ),
, f(x) ( f(x)→max), ( f(x)→min) ; :
) Pj, , , ;
) Pj, , .
2.
Pj,
Δj≥0, (j=1,2,3..n) ( )
Δj≤0, (j=1,2,3..n) ( ),
*=((1)*, (2)*,......... (n)*) .
- , .1 ( )), .2 . .1 ( )), , . , . , 䒺 Δj. k- , max| Δj | = Δk.
Δj≤0
. r, ,
Q= min(bi/aik) (i=1,2..m),
i=r. ark .
r ark, . () .
.
, , , Pj, .
- . 䒺 , m .
- (f(x)→max) + (f(x)→min), 쳺 .
- Δj . , , , .
, .
, .
.
- ?
- ?
-.
-?
?
-.
?
4
:
:
1. .
2. .
3. - ().
4. .
5. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1 .
. .
: m 1, 2, Am ( ) 1, 2,.. m. n B1, B2, Bn ( ) b1, b2,.. bn. () i Bj ji.
:
F(xji)= ∑∑ xji ji→ min (1)
∑xji =ai (i=1,2..m) (2)
∑xji =bj (j=1,2..n) (3)
xji≥0 (i=1,2..m; j=1,2..n) (4)
, . ji . :
. ji .
.
.
2 .
1.
∑bj = ∑ai (5)
.
2. xji (i=1,2..m; j=1,2..n), (2) (4).
3. , N=m+n-1 xji
4. N<m+n-1 , .
5. *, (2) (4) F .
1. ( ).
, , (5).
2. , m+n ui (i=1,2..m) vj (j=1,2..n)
vj - ui = ji xji>0
vj - ui ≤ ji xji=0.
6. vj ui .
3. - (.)
x11, a1 b1.
.. .
, - ai bj ji, .
4. .
, , .
5. .
ϳ :
vj - ui = ji xji>0 (6)
m+n-1, (6) m+n m+n-1 . , , u1=0, .
:
Δji =vj - ui - ji
, Δji ≤0, .
, , .
, . , , .
7. , , .
, , :
, +, - - +;
xji, -. , +.
. .
ui | |||||||||||
vj |
.
, ?
?
?
.
?
, ?
.
.
?
- ?
?
, ?
.
4. .
5.
:
: , .
1. .
2. .
3. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1 .
, .
. ֳ .
:
Z=∑cixi →max (1)
∑aijxj ≤bi, (i=1,2..m) (2)
xj ≥0 (j=1,2..n) (3)
:
F=∑biyi →min (1*)
∑aijyi≥ cj, (j=1,2..n) (2*)
yi≥0 (i=1,2..m) (3*)
:
, xj ≥0 (j=1,2..n)
m x n;
;
;
≤;
Z →max.
tr = , yi ≥0 (i=1,2..m)
trA ;
tr ;
trB - ;
AY ≥trC;
F →min.
( ), . , ≥, , ≥.
:
Z=∑cixi →max/min ∑aijxj =bi, (i=1,2..m) xj ≥0 (j=1,2..n) | F=∑biyi →min/max ∑aijyi≥/≤ cj, (j=1,2..n) yi (-∞,∞) (i=1,2..m) |
, , , , . : , ≤, ≥. , , (-1).
2. .
, :
:
Z=∑cixi →max/min
∑aijxj =bi, (i=1,2..m)
xj ≥0 (j=1,2..n)
:
F=∑biyi →min/max
∑aijyi≥/≤ cj, (j=1,2..n)
yi (-∞,∞) (i=1,2..m)
̳ , .
1. , Y , Y,
Z(X)≤F(Y)
2. Z(X*)=F(Y*), X* - , Y* - .
1. ( ). , , Z(X*)=F(Y*).
( - , ), .
2. ( ). * Y* (1) (3) (1*) (3*) , , j (j=1,2..n) :
(a1j(y1)* + a2j(y2)* + . + amj(ym)* - cj)(xj)* = 0
, :
Z=∑cixi →max
∑aijxj =bi, (i=1,2..m)
xj ≥0 (j=1,2..n)
:
F=∑biyi →min
∑aijyi≥ cj, (j=1,2..n)
yi ≥0 i=1,2..m
. ϳ ,,.
:
() | ||||
S1 | ||||
S2 | ||||
S3 | ||||
ֳ 1- |
, .
3 .
(1) (3) (1)* - (3)*, . .
3. *, , Y* :
Y*=C-1 (4)
C , , ; -1 , , .
, (1) (3), , C -1 (5.4), .
³, - : :
1 | 2 | .. | +1 | +2 | . | n | |
Yn-k+1 | Yn-k+2 | .. | Yn | Y1 | Y2 | Yn-k | |
. , , , , , .
, , j, , m .
, ( bi 䒺).
.
. .
.
.
.
.
.
?
?
?
?
, Δi>0?
5. ֳ
6.
: .
: .
1. .
1. .
2. .
˳:
1. .., .., .., .. - : . . - : 2006, 2010.- 540.
2. . . : / . . , . . , . . -. .: , 2008. - 296 .
3. . . : : / .. . : - 2000, 2006. - 344 .
4. .. . .: , 1993. 336 .
1. .
. , ( , , , ..).
, .
.
:
Z= (1)
,= bi, i= , (2)
xj≥0, (j= ), (3)
xj - , (j= ), (4)
(4), , .
2. .
( ) , . , . , 䳺 :
- ;
- ;
- .
, , .
. .:
- ,
=-[a].
[a] , .. , .
, .
(), . . , .
.
1.