Контрольная работа №8
По математической статистике
Задача 1
В результате проведения исследований получены следующие статистические данные (табл.1), где 
– частота попадания вариант в промежуток 
. Для выборки построить гистограмму относительных частот.
Задача 2
Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты) и найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии на основании данного распределения выборки (табл.2).
Задача 3
Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а случайной величины Х, распределенной нормально, если известны объем выборки n, выборочное среднее 
, надежность 
и среднее квадратическое отклонение 
(табл.3).
Задача 4
Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, для которого известно значение параметра 
. Найти наименьший объем выборки, при котором доверительный интервал длиной 
покрывает параметр а с надежностью (табл.4).
Задача 5
Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Х, если известны объем выборки n, надежность и выборочная дисперсия 
(табл.5).
ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задача 1
В результате проведения исследований получены следующие статистические данные (табл.1), где – частота попадания вариант в промежуток (
]. Для выборки построить гистограмму относительных частот.
| i | 
|
|
| 1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 – 11 |
Решение.
Объём выборки n =60. Найдём относительные частоты:
w 1=4/60, w 2=10/60, w 3=12/60, w 4=11/60, w 5=9/60.
Найдём плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h =2:
w 1/ h =0,08/2=0,04, w 2/ h =0,2/2=0,1, w 3/ h =0,24/2=0,12, w 4/ h =0,22/2=0,11, w 5/ h =0,18/2=0,9.
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.
Например, над интервалом (1,3) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от неё на расстоянии, равном 0,04; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот изображена на рисунке ниже.
Задача 2
В ходе эксперимента получены данные наблюдений:
| |||||||
|
Для данной выборки выполнить следующее:
· Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты);
· Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.
Решение.
Найдем числовые характеристики данной выборки:
1. Минимальное и максимальное значение выборки: 
.
2. Размах выборки: 
.
3. Мода: 
.
4. Так как вариационный ряд содержит четное число вариант (
), то медиана 
.
5. Выборочное среднее: 
.
6. Выборочная дисперсия: 
.
7. Среднее квадратическое отклонение: 
.
8. Начальные моменты: 
, 
,
9. Центральные моменты: 
, 
, 
,
Несмещенной оценкой генерального среднего является выборочное среднее. 
.
Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой:
.
, 
.
Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию): 
.
Задача 3
Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а случайной величины Х, распределенной нормально, если известны объем выборки n =30, выборочное среднее 
, надежность 
и среднее квадратическое отклонение 
.
Решение.
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном параметре . Воспользуемся формулой (30):
.
Для заданных и 
найдем значение 
(см. Приложение 6). Тогда получим интервал, покрывающий 
с надежностью 0,99:
.
Задача 4
Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, для которого известно значение параметра 
. Найти наименьший объем выборки, при котором доверительный интервал длиной 
покрывает параметр а с надежностью =0,95.
Решение.
Доверительный интервал для математического ожидания при известном параметре определяется формулой (25): 
или 
, где 
. По условию , значит, 
. Величину 
найдем из уравнения 
(см. Приложение 2). Тогда 
.
Следовательно, наименьшим объемом выборки будет 
.
Задача 5
Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Х, если известны объем выборки n =20, надежность 
и выборочная дисперсия 
.
Решение.
Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения определяется формулой (37): 
.
Вычислим 
, тогда 
. Найдем величину 
по известному (см. Приложение 7): 
. Следовательно, интервал 
является доверительным для параметра с надежностью .
ПОЯСНЕНИЕ
Номер варианта в контрольной работе №8 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.
Таблица 1. Варианты задачи 1.
| Вариант | i |
|
| Вариант | i |
|
| |
| 3 – 7 7 – 11 11 – 15 15 – 19 19 – 23 | 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14 | |||||||
| 4 – 8 8 – 12 12 – 16 16 – 20 20 – 24 | 1 – 5 5 – 9 9 – 13 13 – 17 17 – 21 | |||||||
| 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 | 5 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15 | |||||||
| 7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15 15 – 17 | 2 – 5 5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17 | |||||||
| 5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17 17 –20 | 3 – 7 7 – 11 11 – 15 15 – 19 19 – 23 |
Таблица 2. Варианты задачи 2.
| Вариант | Распределение | Вариант | Распределение | ||
| -6 -2 3 6 |
| 4 8 10 14 | ||
| 12 14 16 8 |
| 12 24 38 26 | ||
|
| -10 -5 -1 4 |
| 2 6 8 9 | ||
|
| 25 44 16 15 |
| 20 13 12 5 | ||
|
| 4 8 16 24 |
| 3 6 8 14 | ||
|
| 31 14 28 27 |
| 8 14 16 18 | ||
|
| -3 1 4 8 |
| 10 14 16 22 | ||
|
| 12 13 10 25 |
| 13 24 14 9 | ||
|
| 16 20 22 30 |
| -6 -2 2 5 | ||
|
| 14 26 17 3 |
| 11 13 14 12 |
Таблица 3. Варианты задачи 3.
| Вариант | n |
|
|
| Вариант | n |
|
|
| |
| 0,9 | 0,9 | |||||||||
| 20,2 | 0,99 | 0,7 | 0,99 | |||||||
| 0,95 | 0,9 | 0,8 | ||||||||
| 0,95 | 0,9 | |||||||||
| 0,95 | 2,8 | 0,9 |
Таблица 4. Варианты задачи 4.
| Вариант |
|
|
| Вариант |
|
|
| |
| 1,8 | 0,9 | 0,8 | 2,4 | 0,95 | ||||
| 0,9 | 1,2 | 0,95 | ||||||
| 0,9 | 0,95 | |||||||
| 0,9 | 0,95 | |||||||
| 0,9 | 1,6 | 0,95 |
Таблица 5. Варианты задачи 5.
| Вариант | n |
|
| Вариант | n |
|
| |
| 0,95 | 0,99 | |||||||
| 0,95 | 0,99 | |||||||
| 0,95 | 0,99 | |||||||
| 0,95 | 0,99 | |||||||
| 0,95 | 0,99 |
