Образец решения контрольной работы

Контрольная работа №8

По математической статистике

 

Задача 1

В результате проведения исследований получены следующие статистические данные (табл.1), где – частота попадания вариант в промежуток . Для выборки построить гистограмму относительных частот.

Задача 2

Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты) и найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии на основании данного распределения выборки (табл.2).

Задача 3

Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а случайной величины Х, распределенной нормально, если известны объем выборки n, выборочное среднее , надежность и среднее квадратическое отклонение (табл.3).

Задача 4

Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, для которого известно значение параметра . Найти наименьший объем выборки, при котором доверительный интервал длиной покрывает параметр а с надежностью (табл.4).

Задача 5

Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Х, если известны объем выборки n, надежность и выборочная дисперсия (табл.5).

 

ОБРАЗЕЦ РЕШЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1

В результате проведения исследований получены следующие статистические данные (табл.1), где – частота попадания вариант в промежуток ( ]. Для выборки построить гистограмму относительных частот.

i
	1 – 3 3 – 5 5 – 7 7 – 9 9 – 11

 

Решение.

Объём выборки n =60. Найдём относительные частоты:

w ₁=4/60, w ₂=10/60, w ₃=12/60, w ₄=11/60, w ₅=9/60.

Найдём плотности относительных частот, учитывая, что длина интервала h =2:

w ₁/ h =0,08/2=0,04, w ₂/ h =0,2/2=0,1, w ₃/ h =0,24/2=0,12, w ₄/ h =0,22/2=0,11, w ₅/ h =0,18/2=0,9.

Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от неё на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.

Например, над интервалом (1,3) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от неё на расстоянии, равном 0,04; аналогично строят остальные отрезки. Искомая гистограмма относительных частот изображена на рисунке ниже.

 

Задача 2

В ходе эксперимента получены данные наблюдений:

Для данной выборки выполнить следующее:

· Вычислить числовые характеристики выборки (мода, медиана, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты);

· Найти несмещенные оценки генерального среднего и генеральной дисперсии.

Решение.

Найдем числовые характеристики данной выборки:

1. Минимальное и максимальное значение выборки: .

2. Размах выборки: .

3. Мода: .

4. Так как вариационный ряд содержит четное число вариант (), то медиана .

5. Выборочное среднее: .

6. Выборочная дисперсия: .

7. Среднее квадратическое отклонение: .

8. Начальные моменты: , ,

9. Центральные моменты: , , ,

 

Несмещенной оценкой генерального среднего является выборочное среднее. .

Для вычисления выборочной дисперсии воспользуемся формулой:

.

, .

Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию): .

Задача 3

Найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания а случайной величины Х, распределенной нормально, если известны объем выборки n =30, выборочное среднее , надежность и среднее квадратическое отклонение .

Решение.

Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном параметре . Воспользуемся формулой (30):

.

Для заданных и найдем значение (см. Приложение 6). Тогда получим интервал, покрывающий с надежностью 0,99:

.

Задача 4

Генеральная совокупность имеет нормальное распределение, для которого известно значение параметра . Найти наименьший объем выборки, при котором доверительный интервал длиной покрывает параметр а с надежностью =0,95.

Решение.

Доверительный интервал для математического ожидания при известном параметре определяется формулой (25): или , где . По условию , значит, . Величину найдем из уравнения (см. Приложение 2). Тогда .

Следовательно, наименьшим объемом выборки будет .

Задача 5

Найти доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины Х, если известны объем выборки n =20, надежность и выборочная дисперсия .

Решение.

Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения определяется формулой (37): .

Вычислим , тогда . Найдем величину по известному (см. Приложение 7): . Следовательно, интервал является доверительным для параметра с надежностью .

 

ПОЯСНЕНИЕ

Номер варианта в контрольной работе №8 совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки.

Таблица 1. Варианты задачи 1.

 

Вариант	i				Вариант	i
		3 – 7 7 – 11 11 – 15 15 – 19 19 – 23				4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12 12 – 14
		4 – 8 8 – 12 12 – 16 16 – 20 20 – 24				1 – 5 5 – 9 9 – 13 13 – 17 17 – 21
		2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10 10 – 12				5 – 7 7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15
		7 – 9 9 – 11 11 – 13 13 – 15 15 – 17				2 – 5 5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17
		5 – 8 8 – 11 11 – 14 14 – 17 17 –20				3 – 7 7 – 11 11 – 15 15 – 19 19 – 23

 

Таблица 2. Варианты задачи 2.

 

Вариант	Распределение		Вариант	Распределение
		-6 -2 3 6			4 8 10 14
	12 14 16 8		12 24 38 26
		-10 -5 -1 4			2 6 8 9
	25 44 16 15		20 13 12 5
		4 8 16 24			3 6 8 14
	31 14 28 27		8 14 16 18
		-3 1 4 8			10 14 16 22
	12 13 10 25		13 24 14 9
		16 20 22 30			-6 -2 2 5
	14 26 17 3		11 13 14 12

 

Таблица 3. Варианты задачи 3.

 

Вариант	n					Вариант	n
			0,9					0,9
		20,2	0,99	0,7				0,99
			0,95					0,9	0,8
			0,95					0,9
			0,95	2,8				0,9

 

Таблица 4. Варианты задачи 4.

 

Вариант					Вариант
	1,8		0,9		0,8	2,4	0,95
			0,9		1,2		0,95
			0,9				0,95
			0,9				0,95
			0,9		1,6		0,95

 

Таблица 5. Варианты задачи 5.

 

Вариант	n				Вариант	n
		0,95				0,99
		0,95				0,99
		0,95				0,99
		0,95				0,99
		0,95				0,99