Полный факторный эксперимент.

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время в технике широко внедряется совокупность передовых методов статистической обработки результатов различных экспериментов — теория планирования экспериментов. Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и до­статочных для решения поставленной задачи с требуемой точностью [12].

При планировании испытаний существенно стремление к минимизации их числа, к сокращению времени на их проведение и обработку результатов; одновременное варьирование по специальным алгоритмам всеми переменными, определяющими процесс (в случае управляемого эксперимента); использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии принятия обоснованных решений после каждой серии экспериментов.

Создается также при наличии формализованных решений база для автоматизации циклов планирования и проведения операций контроля и испытаний с помошью ЭВМ.

Исследование начинается обычно с обработки априорной информации по испытаниям натурных объектов, выбора вида модели, разработки специальной рабочей модели, предназначенной для конкретных исследований.

Если исследуется новое явление, то с помощью создаваемой модели «нащупывается» его схема. Такое приближенное отображение процесса фиксируется концептуальными или феноменологическими моделями, которые дают условное пред­ставление о процессе — его скелетную схему.

Важным вопросом является обеспечение научной основы для планирования испытаний и прогнозирования изменений основных параметров, что должно предшествовать всякому внедрению систем в производство.

Темы курсовых работ, рассматриваемых в данном руководстве. касаются цикла испытаний высших ступеней иерархии: отдельных систем, комплекса систем и летных испытаний. Применяя методы планирования эксперимента в разработке указанных технологических процессов, возникает возможность формализовать ряд операций подготовки и проведения испытаний и оптимизации технологического цикла.

Основные сведения о применении теории планирования эксперимента при проектировании технологических процессов контрольно-испытательных работ.

Теория планирования эксперимента.

1.1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Случайная величина — величина Х представляющая результат произвольно рассматриваемого опыта, наблюдения, замера. Определенные значения одной и той же случайной величины обозначаются как X ( =1,2,..., ). Случайными величинами являются зависимые переменные или результи­рующие параметры, обозначаемые Y и независимые переменные или составляющие факторы, обозначаемые X .

Результирующими параметрами являются выходные параметры и характеристики бортовых систем летательных аппаратов (усилие конечного элемента механической системы, тяга двигательной установки, температура среды).

Составляющими факторами являются все монтажные (зазоры, люфты, площади проходных сечений, углы отклонения, чистота поверхностей, электрическое сопротивление соединений разъемных и неразъемных и пр.), функциональные (усилия, скорости, ускорения, передаточные числа) параметры и внешние эксплуатационные условия среды. С классификацией последних можно ознакомиться в [30].

Статистическая (стохастическая) связь. Связь (зависимость) между результирующими и составляющими параметрами, имеющими различные случайные значения, называется статистической, если каждому значению независимой величины соответствуют сопряженные значения зависимых величин. Зависимая величина у связана с независимыми величинами X₁, X₂..., Х_к статистически, если каждому значению X₁, X₂..., Х_к соответствует не одно значение у распределение данного выходного параметра, меняющееся вместе с изменением X₁, X₂..., Х_к.

Корреляционная связь (зависимость). Связь между величинами X₁, X₂..., Х_к корреляционной, если определенным значениям X₁, X₂..., Х_к соответствуют групповые средние . Множественная корреляционная связь характеризует статистическую зависимость результирующего параметра от двух и более факторов.

Групповой средней зависимой переменной является среднее арифметическое значение зависимой величины, соответствующее каждому значению (интервалу) факторов.

Форма корреляционной связи — тенденция, которой следует зависимая переменная при изменении значений факторов. Если наблюдается тенденция равномерного возрастания или убывания зависимой переменной, то корреляционная связь — линейная; при тенденции же неравномерного изменения значении зависимой переменной корреляционная связь — криволинейная.

Уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии) — уравнение, по которому могут быть найдены числовые значе­ния групповых средних зависимых переменных от соответствующих значений независимых переменных

У

Коэффициент корреляции (коэффициент парной корреляции) — простейшая характеристика статистической связи случайных величин. Тесноту связи по данным выборки можно оценить только по относительным величинам. По абсолютным значениям коррелируемых параметров эту оценку сделать нельзя не только в том случае, когда они выражены в различных единицах измерения, по и когда они выражены в одних и тех же единицах измерения, так как величины отклонений зависят от значений самих параметров. Такие относительные величины могут быть получены в виде отношений к их среднеквадратическому отклонению, т. е. в форме нормированных отклонений. Сравнивать нормированные отклонения возможно, так как абсолютная величина при этом значения не имеет.

Для простейшей линейной двумерной корреляционной связи коэффициент корреляции представляет собой среднее про­изведение нормированных отклонений коррелируемых параметров

r₁₂₌ (1)

 

где n —число составляющих пар наблюдений (пара наблюдений— сопряженные значения параметров, для которых оп­ределяется корреляционная связь).

В индексе коэффициента парной корреляции указывается сначала индекс зависимого переменного, а затем — независимого. Численно r₁₂ и r₂₁ равны. Коэффициент корреляции есть показатель как того, насколько связь между случайными величинами близка к строгой линейной зависимости, так и слишком большой криволинейности этой связи.

Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах -1 ≤ r₁₂ ≤ +1.

Коэффициент частной (парциальной) корреляции r_12.34…n является коэффициентом парной корреляции, в котором исключено влияние одной или нескольких других переменных. Коэффициент частной корреляции позволяет выявить основные факторы, оказывающие наибольшее влияние между двумя переменными при условии, что все остальные переменные фиксируются на своем среднем уровне. В индексе коэффициента парциальной корреляции указываются индексы коэффициента парной корреляции, а после точки — индексы исключаемых переменных.

Уравнении регрессии — вид уравнения, который выбирается или которым характеризуется форма (модель) статистической связи результирующего параметра с фактором. Форма связи может быть линейной и нелинейной [5].

Примеры уравнений связи.

Линейные:

b₀+b₁₁X₁ — для парной коррелята, (2)

 

b₀+b_11.23…nX₁+b_12.134…nX₂+…— для множественной корреляции.

(3)

Нелинейные:

b₀+b_11.23…nX₁+b_12.134…nX²₁+…+b_{1n.123…(n-1)}X^k₁ — (4)

 

Полный факторный эксперимент — это эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов.

Условия эксперимента можно записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам по порядку, а столбцы — значениям факторов X₁, Х₂,... и их взаимодействиям X₁X₂, X₁X₃, X₂X₃, X₁X₂X₃ и т. п., — это матрица планирования полного факторного эксперимента (таблица 1).

Множество целых чисел 0, 1,..., n -1, расположенных в виде (n×n)—матрицы, называется квадратом размера п. Квадрат называется латинским, если каждое целое встречается ровно один раз в каждой строке и в каждом столбце [5].

 

Полный факторный эксперимент.

Таблица 1.

Факторы	С
с1	с2	с3
В
А	b1	b2	b3	b1	b2	b3	b1	b2	b3
а1	.	.	.	.	.	.	.	.	.
а2	.	.	.	.	.	.	.	.	.
а3	.	.	.	.	.	.	.	.	.

(точки проставлены вместо значений функции отклика).

Таблица 2.