Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки.

Для проверки на прочность при изгибе по действующим на балку внешним нагрузкам строят эпюры изменения внутренних усилий по ее длине и определяют опасные сечения балки, для каждого из которых необходимо провести проверку прочности.

При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):

1. сечение, в котором изгибающий момент М _х - достигает своего максималь­ного по модулю значения, - именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;

2. сечение, в котором поперечная сила Q _y, достигает своего максимального по модулю значения;

3. сечение, в котором и изгибающий момент М _x и поперечная сила Q _y дости­гают по модулю достаточно больших величин.

В каждом из опасных сечений необходимо, построив эпюры нормальных и касательных напряжений, найти опасные точки сечения (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:

1. точка, в которой нормальные напряжения , достигают своего макси­мального значения, - то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;

2. точка, в которой касательные напряжения достигают своего макси­мального значения, - точка, лежащая на нейтральной оси сечения;

3. точка, в которой и нормальные напряжения, и касательные напряжения, достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значе­ние).

Пример 11.

Для заданных двух схем балок (рис.6.39) требуется написать выражения , для каждого участка в общем виде, построить эпюры , , найти и подобрать: для схемы а) деревянную балку круглого поперечного сечения при МПа; для схемы б) стальную балку двутаврового поперечного сечения при МПа. При М = 20 кН/м, Р = 20 кН, q = 8 кН/м, м, м, , , .

а) б)

Рис.6.39

Решение.

а) б)

Рис.6.40

 

Схема а).

1. Для определения внутреннихусилий , используем метод сечений. Определим количество участков: граничными точками участков являются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и конца распределенной нагрузки. В данной задаче консольная балка имеет два участка. Рассечем последовательно со свободного конца каждый изних.Отбрасывая часть балки, включавшую защемление, определим внутренние силовые факторы в сечении. Поперечная сила равна алгебраической сумме проекций сил, приложенных к отсеченной части на поперечную ось (ось у), изгибаюший момент равен алгебраической сумме моментов, возникающих на отсеченной части относительно оси х в сечении. При определении знаков, используем следующее правило: поперечная сила положительна, если отсеченная часть стремится повернуться по часовой стрелке относительно, точки сечения, изгибающий момент положителен, если балка становится вогнутой.

Запишем выражения для внутренних силовых факторов и сосчитаемих значения в граничных точках участков (рис.6.40, а).

1 участок: м

кН;

.

, кН;

, кНм.

II участок: м

;

,

кН, кН;

кНм, кНм.

2. Построим эпюры внутренних силовых факторов, откладывая вычисленные значения на графике (рис.6.40, а). Соединим полученные точки прямыми линиями на участках, где аргумент z входит в первой степени и параболами, где z входит во второй степени. Таким образом, эпюра изгибающего момента на первом участке будет криволинейной, остальные участки эпюр будут прямолинейными. Определим опасное сечение балки, т.е. сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения. Опасным сечением будет сечение на опоре, где кН/м.

3. Диаметр круглого сечения найдем из условия прочности

,

, ,

м.

Схема б).

1. Для балки, лежащей на двух шарнирных опорах (рис.6.40, б), найдем опорные реакции R_А, Н_А, R_В. Запишем уравнения равновесия статики:

;

;

.

;

.

Для проверки правильности определения реакций запишем еще одно уравнение равновесия, которое должно тождественно удовлетвориться при правильно найденных значениях реакций.

,

.

Балка имеет три участка, рассечем каждыйиз них.

I участок:

кН;

.

, кН;

, кНм.

II участок: м

;

,

кН, кН;

, кНм.

2. Построим эпюры, соединяя полученные значения и . На втором участке эпюра имеет максимум при . Для определения величины максимального момента приравняем нулю выражение поперечной силы на участке, определим величину и подставим ее в выражение изгибающего момента:

,

м,

кНм.

Двутавровое сечение найдемиз условия прочности, определив необходимую величину момента сопротивления

,

.

Из сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239-72) выберем двутавр с см³,

, см³.