Работа №3
Исследование свободных процессов
В электрических цепях
Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности 
- контура по осциллограммам.
Подготовка к работе
В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока 
, заряжающими емкость 
. В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен (
).
 | |||
 |
а б
Рис. 3.1
 |
Рис. 3.2
В линейных цепях свободный процесс описывается однородными линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи 
). При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи 
:
а) для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1, а 
, откуда
; (3.1)
б) для цепи второго порядка, представленной на рис. 3.1, б 
, откуда
, 
, 
; (3.2)
в) для цепи третьего порядка, представленной на рис. 3.2 
откуда
, 
, 
.(3.3)
Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи
,
где 
– постоянные интегрирования, 
– порядок цепи.У цепи первого порядка одна собственная частота (3.1), вещественная и отрицательная, свободный экспоненциальный процесс имеет вид
(3.4)
где 
– постоянная затухания, 
– постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 3.3, а, причем – интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.
В цепи второго порядка две собственные частоты (3.2) могут быть разными вещественными различными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 3.3, б), кратными вещественными 
(критический режим) или комплексно-сопряженными (колебательный режим). Вид критического процесса 
близок к диаграмме, показанной на рис. 3.3, б, причем момент достижения максимума 
, если 
. Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:
, (3.5)
где 
– постоянная затухания, 
– частота затухающих колебаний (
). Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 3.3, в.
Дальнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. Так, согласно (3.3), в схеме, изображенной на рис.3.2, собственные частоты могут быть либо три вещественные, либо одна вещественная и две комплексно-сопряженные, например, 
и 
. Временная диаграмма свободного процесса представлена на рис. 3.3, г – это сумма экспоненты (см. пунктир) и затухающей синусоиды.В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3.4) по рис. 3.3, а можно рассчитать постоянную затухания
(3.6) Для случая рис. 3.3, в постоянная затухания также может быть определена на основании (3.6), но при этом обязательно выполнение условия 
, что вытекает из (3.5).
 |
а б
в г
Рис. 3.3 
В случаях рис. 3.3, б, г найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.
Особый интерес для 
контуров представляет определение добротности 
по виду свободного процесса в них. Так для последовательного контура добротность определяется выражением
(3.7)
где 
– частота незатухающих колебаний в идеальном контуре (
). Согласно (3.2) собственные частоты последовательного контура можно записать следующим образом:
, (3.8)
причем 
соответствует апериодический режим, 
– критический режим, 
– колебательный режим, а 
–незатухающий колебательный режим.
При 
с высокой степенью точности можно считать
(3.9)
С учетом (3.6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рис. 3.3, в, имеет вид
(3.10)
Для повышения точности можно брать отношения напряжений за 
периодов колебаний:
(3.11)
Экспериментальные исследования с применением моделирующих компьютерных программных средств Multisim.
Для начала работы необходимо включить компьютер и на экране монитора открыть папку «Лаб.раб.ТОЭ» и в ней папки «ЛЭТИ-Лаб.раб» и «Лаб.раб.№3». После загрузки в открывшемся окне на экране монитора появится схема (рис. 3.4) с подключенными к ней осциллографомXSC1и импульсным источника тока PULSE i. У источника тока установлена амплитуда импульсов тока 
А, а их частота повторения 
кГц (т.е. период T =1 мс). У осциллографаXSC1входной сигнал подается на канал A а выходной 
на канал B (режим работы осциллографа ждущий, синхронизация внутренняя по каналу A).
На основе этой схемы (рис. 3.4) можно собирать цепи первого, второго и третьего порядков (рис. 3.1 и рис. 3.2) с использованием ключей S1 и S2, которые управляются с клавиатуры, соответственно, клавишами 1 и 2.
