В общем случае язык – это заданный набор символов и правил, устанавливающих способы комбинации этих символов между собой для записи осмысленных текстов. Основой любого естественного или искусственного языка является алфавит, определяющий набор допустимых символов языка.
Алфавит – это счетное множество допустимых символов языка. Будем обозначать это множество символом V. Интересно, что согласно формальному определению, алфавит не обязательно должен быть конечным (перечислимым) множеством, но реально все существующие языки строятся на основе конечных алфавитов.
Цепочка символов α является цепочкой над алфавитом V: α(V), если в нее входят только символы, принадлежащие множеству символов V. Для любого алфавита V пустая цепочка может как являться, так и не являться цепочкой (V). Это условие оговаривается дополнительно.
Если V – некоторый алфавит, то:
V+ – множество всех цепочек над алфавитом V без ;
V* – множество всех цепочек над алфавитом V, включая .
Справедливо равенство: V* = V+ {}.
Языком L над алфавитом V: L(V) называется некоторое счетное подмножество цепочек конечной длины из множества всех цепочек над алфавитом V. Из этого определения следуют два вывода: во-первых, множество цепочек языка не обязано быть конечным; во-вторых, хотя каждая цепочка символов, входящая в язык, обязана иметь конечную длину, эта длина может быть сколь угодно большой и формально ничем не ограничена.
Все существующие языки подпадают под это определение. Большинство реальных естественных и искусственных языков содержат бесконечное множество цепочек. Также в большинстве языков длина цепочки ничем не ограничена (например, этот длинный текст – пример цепочки символов русского языка). Цепочку символов, принадлежащую заданному языку, часто называют предложением языка, а множество цепочек символов некоторого языка L(V) – множеством предложений этого языка. Для любого языка L(V) справедливо: L(V) V*.
Язык L(V) включает в себя язык L’(V): L’(V)L(V), если αL(V):
α L’(V). Множество цепочек языка L’(V) является подмножеством множества цепочек языка L(V) (или эти множества совпадают). Очевидно, что оба языка должны строится на основе одного и того же алфавита.
Два языка L(V) и L’(V) совпадают (эквивалентны): L’(V) = L(V), если L’(V)L(V) и L(V)L’(V); или, что то же самое: α L’(V): α L(V) и
α L’(V): α L(V). Множества допустимых цепочек символов для эквивалентных языков должны быть равны.
Два языка L(V) и L’(V) почти эквивалентны: L’(V) L(V), если L’(V){}= = L(V){}. Множества допустимых цепочек символов почти эквивалентных языков могут различаться только на пустую цепочку символов.
Способы задания языков
Итак, каждый язык – это множество цепочек символов над некоторым алфавитом. Но кроме алфавита язык предусматривает и задание правил построения допустимых цепочек, поскольку обычно далеко не все цепочки над заданным алфавитом принадлежат языку. Символы могут объединяться в слова или лексемы – элементарные конструкции языка, на их основе строятся предложения – более сложные конструкции. И те и другие в общем виде являются цепочками символов, но предусматривают некоторые правила построения. Таким образом, необходимо указать эти правила, или, строго говоря, задать язык.
Язык задать можно тремя способами:
1. Перечислением всех допустимых цепочек языка.
2. Указанием способа порождения цепочек языка (заданием грамматики языка).
3. Определением метода распознавания цепочек языка.
Первый из методов является чисто формальным и на практике не применяется, так как большинство языков содержат бесконечное число допустимых цепочек и перечислить их просто невозможно. Трудно себе представить, чтобы появилась возможность перечислить, например, множество всех правильных текстов на русском языке или всех правильных программ на языке Pascal. Иногда, для чисто формальных языков, можно перечислить множество входящих в них цепочек, прибегнув к математическим определениям множеств. Однако этот метод уже стоит ближе ко второму способу.
Например, запись L({0,1}) = {0n1n, n > 0} задает язык над алфавитом V = {0,1}, содержащий все последовательности с чередующимися символами 0 и 1, начинающиеся с 0 и заканчивающиеся 1. Видно, что пустая цепочка символов в этот язык не входит. Если изменить условие в этом определении с n > 0 на n0, то получим почти эквивалентный язык L’({0,1}), содержащий пустую цепочку.
Второй способ предусматривает некоторое описание правил, с помощью которых строятся цепочки языка. Тогда любая цепочка, построенная с помощью этих правил из символов алфавита языка, будет принадлежать заданному языку. Например, с правилами построения цепочек символов русского языка вы знакомились в средней школе.
Третий способ предусматривает построение некоторого логического устройства (распознавателя) – автомата, который на входе получает цепочку символов, а на выходе выдает ответ: принадлежит или нет эта цепочка заданному языку. Например, читая этот текст, вы сейчас в некотором роде выступаете в роли распознавателя.
