Основные характеристики и экспериментальный анализ случайных величин
Цель работы: изучение основных понятий теории вероятностей, ознакомление с основными характеристиками случайных величин и возможными способами их экспериментального определения
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
Элементы теории вероятностей
Интегральная функция распределения F(x) случайной величины Х показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения x, т.е. F(x) = Р{Х £ х}. Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины Х заключено между х 1 и х 2, равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:
P{x1 < X £ x2}= F(x2) – F(x1). (1.2)
Аналогично
P{X > x} = 1 – F(x). (1.3)
Интегральная функция распределения случайной величины Х обладает следующими свойствами:
1) lim F(x) = F (- ¥) = 0;
2) lim F(x) = F (¥) = 1;
3) F(x) ³ 0;
4) F(x2) ³ F(x1), если x2 > x1.
| F(х) |
| x |
| Рис. 1.1 |
Если функция F(x) дифференцируема для всех значений случайной величины Х, то закон распределения вероятностей и может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:
(D x > 0). (1.4)
Таким образом, значение функции 
приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал 
к длине 
этого интервала, когда – бесконечно малая величина. Поэтому функцию называют также функцией плотности распределения вероятностей (или короче – функцией плотности вероятности).
Отметим основные свойства функции :
1) f(x)³ 0;
2) 
3) 
4) 
(z – переменная интегрированная).
С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. В частности,
= 
(1.5)
Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей 
Так, например, вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее а1, равна относительной доле площади под кривой слева от точки а1 (рис. 1.2, а); вероятность того, что эта величина Х примет значение, большее а2, равна относительной доле площади под кривой справа от точки а2 (рис. 1.2, б); вероятность того, что она примет значение, заключенное между а1 и а2, равна относительной доле площади под кривой между точками а1 и а2 (рис. 1.2, в).
Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые свойства случайных величин могут быть описаны более просто с помощью определенных числовых параметров. Наибольшую роль среди них на практике играют два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) случайной величины и степень ее рассеяния вокруг этого центра. Наиболее
| f(x)) x) |
| x |
| f(x)) x) |
| x |
| f(x)) x) |
| x |
|
|
Рис. 1.2
а) б) в)
распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание mx случайной величины Х (часто называемое также генеральным средним значением):
(1.6)
Степень рассеяния случайной величины Х относительно mx может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии 
:
= 
Если все в большей степени концентрируется вблизи mx, то значения 
уменьшаются. Если же имеются весьма удаленные от mx значения случайной величины Х и для них не слишком мала, то дисперсия увеличивается. Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим отклонением s x.
Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использования одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух случайных величин X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x, y) и дифференциальная f(x, y). Функция F(x, y), характеризуется вероятностью того, что первая случайная величина принимает некоторое значение, меньшее или равное x, а вторая – значение меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:
F(x,y) = P{X £ x; Y£ y}. (1.8)
Как и для одной непрерывной случайной величины, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятностей):
f(x, y)= 
(1.9)
Функция f(x, y) обладает следующими свойствами:
1) f(x, y) ³ 0;
2) 
3) 
4) 
(z1 и z2 – переменные интегрированная).
Вероятность того, что случайные величины X, Y одновременно попадут в некоторую произвольную область W, составляет
P{(X,Y)Î W} = 
(1.10)
В частности,
P{a1 < X £ a2; b1 < Y £ b2} = 
. (1.11)
По известной двумерной плотности f(x, y) легко найти частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:
f(x) = 
f(y) = 
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если
f(x) f(y). (1.13)
Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X и Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда цифровых параметров. При этом в качестве наиболее употребительных параметров, описывающих поведение каждой из случайных величин в отдельности, как и выше, используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины mx, my, 
Кроме подобного рода параметров для двумерной совокупности могут быть построены параметры, характеризующие степень взаимозаменяемости переменных X и Y. Простейшими из них являются ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом).
cov(X, Y) = 
) f(x,y) dx dy, (1.14)
а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции
rxy = 
. (1.15)
По своему физическому смыслу коэффициент корреляции является далеко не исчерпывающей характеристикой статистической связи, характеризующая лишь степень линейной зависимости между X и Y. Коэффициент корреляции меняется в пределах -1 £ rxy £ 1. Если rxy = 1, то случайные величины полностью положительно коррелированы, т.е. y = a0 + a1 x, где a0, a1 – постоянные, причем a1 > 0. Если же rxy = -1, то случайные величины полностью отрицательно коррелированы, т.е. y = a0 - a1. Если rxy = 0, то говорят, что случайные величины X и Y не коррелированы: a1 = 0. В том случае, когда X и Y – независимые случайные величины, для них rxy = 0; следовательно, они и не коррелированы. Обратное утверждение в общем случае не верно: X и Y могут быть связаны даже функционально и все же иметь нулевой коэффициент корреляции (при этом, конечно, функциональная связь должна быть нелинейной).
Все описанные выше функции и связанные с ними параметры являются теоретическими, характеризующими определенные свойства изучаемого объекта. На практике почти всегда эти характеристики независимы и возникает задача экспериментального (эмпирического) определения тех или иных характеристик случайных величин на основе наблюдений.
