Статистичне дослідження масива показників

У дослідженнях часто вирішують задачу виявлення чинників, визначальний рівень і динаміку деякого процесу. Таке завдання найчастіше вирішується метода-ми кореляційного, регресійного аналізу.

Для достовірного відображення процесів, що об'єктивно існують, необхідно виявити суттєві взаємозв'язки і не тільки виявити, але і дати їм кількісну оцінку. Цей підхід вимагає розкриття причинних залежностей. Під причинною залежністю розуміється такий зв'язок між процесами, коли зміна одного з них є наслідком зміни іншого.

Не всі чинники, що впливають на досліджувані процеси, є випадковими величинами. Тому при аналізі технічних систем зазвичай розглядаються зв'язки між випадковими і невипадковими величинами. Такі зв'язки називаються регресійними, а метод математичної статистики, що їх вивчає, називається регресійним аналізом.

 

Основні поняття

З метою математичного опису конкретного виду залежностей з використанням регресійного аналізу підбирають клас функцій, що зв'язують результативний показник у і аргументи x₁, x₂, …, х_k , відбирають найбільш інформативні аргументи, обчислюють оцінки невідомих значень параметрів рівняння зв'язку і аналізують точність отриманого рівняння.

Функція f(x₁, x₂, …, х_k), що описує залежність умовного середнього значення результативної ознаки у від заданих значень аргументів, називається функцією (рівнянням) регресії.

Для точного опису рівняння регресії необхідно знати закон розподілу результативного показника. У статистичній практиці таку інформацію отримати зазвичай| не вдається, тому обмежуються пошуком відповідних апроксимацій для функції f(x₁, x₂, …, х_k), заснованих на вихідних статистичних даних.

В рамках окремих модельних допущень про тип розподілу вектора показників (у, x₁|, x₂|, …, х_k) може бути отриманий загальний вид рівняння регресії f(x)=M(Y / Х), Х =|(x₁, x₂, …, х_k).

З метою якнайкращого відновлення за початковими (вихідними) статистичними даними умовного значення результатирующего показника у(х) і невідомій функції регресії f(x)= M(y/x) найчастіше використовують наступні критерії адекватності (функції втрат).

1. Метод найменших квадратів, згідно якому мінімізується квадрат відхилення спостережуваних значень результативного показника y_i (i=1,2.,n) від модельних значень f(x_i β), де i= (1,…,k- коефіцієнти рівняння регресії, x_i– значення вектора аргументів у i-му спостереженні:

.

Вирішується завдання відшукання оцінки вектора b. Отримувана регресія називається середньоквадратичною. мати

2. Метод найменших модулів, згідно якому мінімізується сума абсолютних відхилень спостережуваних значень результативного показника від модельних значень f(xi, b), тобто

.

Отримувана|одержувати| регресія називається среднеабсолютной| (медіаною).

3. Метод мінімакса зводиться до мінімізації максимуму модуля відхилення спостережуваного значення результативного показника yi| від модельного значення f(xi, b), тобто

.

Отримувана при цьому регресія називається мінімаксною.

(Ми в своїх дослідженнях будемо користуватися методом пайменших квадратів.)

Між різними явищами і їх ознаками необхідно перш за все виділити два типи зв'язків: функціональний (жорстко детермінований) і статистичний (стохастично детермінований).

Стахостичний зв'язок – це зв'язок між величинами, при якому одна з них, випадкова величина Y реагує на зміну іншої величини X зміною закону розподілу. Це обумовлено тим, що залежна змінна (результативна ознака), окрім даних незалежних, схильна до впливу ряду неврахованих або неконтрольованих (випадкових) чинників а також деяких неминучих помилок вимірювання змінних. Оскільки значення залежної змінної схильні до випадкового розкиду, вони не можуть бути передбачені з достатньою точністю, а тільки вказані з певною ймовірністю.

Характерною особливістю стахостических зв'язків є те, що вони виявляються у всій сукупності, а не в кожній її одиниці. Причому невідомий ні повний перелік чинників, що визначають значення результативної ознаки, ні точний механізм їх функціонування і взаємодії з результативною ознакою. Завжди має місце вплив випадковості. Різні значення залежної змінної, що з'являються, – реалізація випадкової величини.

Модель стохастичного зв'язку може бути представлена в загальному вигляді рівнянням: ŷ_i = f(x_i) + e_i

де ŷ_i - розрахункове значення результативної ознаки;

f(x_i) - частка результативної ознаки, що сформувалася під впливом врахованих відомих факторних ознак (одної або множини), що знаходяться в стахостичному| зв'язку з ознакою;

e_i - частина результативної ознаки, що виникла внаслідок дії неконтрольованих або неврахованих чинників, а також вимірювання ознак, що неминуче супроводиться деякими випадковими помилками. Прояви стохастичних зв'язків схильні до дії закону великих чисел: лише у достатньо великому числі одиниць індивідуальні особливості згладяться, випадковості взаимопогасятся, і залежність, якщо вона має суттєву силу, виявиться досить чітко.

 

Лінійна регресія

Проста лінійна регресія дозволяє знайти лінійну залежність між однією вхідною і однією вихідною змінними. Для цього визначається рівняння регресії - модель, що відбиває залежність значень y, залежної величини Y від значень х, незалежної змінної X генеральної сукупності, яке запишемо у вигляді:

 

y

x

(

)

A1

х

1×

+

:=

A0

де у(x)- теоретичні значення результативної ознаки, отримані за рівнянням регресії;

 

A₀ - вільний член рівняння регресії;

А₁ - коефіцієнт рівняння регресії.

Оскільки A₀ є середнім значенням у в точці х =0, інтерпретація його часто утруднена або взагалі неможлива. Коефіцієнт парної лінійної регресії А₁ має сенс показника сили зв'язку між варіацією факторної ознаки х і варіацією результативної ознаки у. Наведене вище рівняння показує середнє значення зміни результативної ознаки у | при зміні факторної ознаки х на одну одиницю його вимірюванн|, тобт| варіацію у, що припадає на одиницю варіації х. Знак А₁ вказує напрям цієї зміни.

Параметри рівняння А₀|, А₁ | знаходять методом найменших квадратів (метод розв’язування систем рівнянь, при якому за розв’язок приймається точка мінімуму| суми квадратів відхилень), тобто| в основу цього методу покладена вимога мінімальності сум квадратів відхилень емпіричних даних y_i від тих, що вирівнюються у:

 

S(y – ŷ)² = S(y – А₀ – А₁x) ² ® min

 

Для знаходження мінімуму даної функції прирівняємо до нуля її частинні похідні і отримаємо систему двох лінійних рівнянь, яка називається системою нормальних рівнянь:

 

.

 

Розв’зок ієї системи в загальному вигляді:

 

 

Потім будується відповідна пряма, звана лінією регресії. Коефіцієнти А₁ і A₀, звані також параметрами моделі, вибираються так, щоб сума квадратів відхилень точок, відповідних реальним спостереженням даних, від лінії регресії, була б мінімальною. Підбір коефіцієнтів виробляється по методу найменших квадратів. Іншими словами, проста лінійна регресія описує лінійну модель, яка якнайкраще апроксимує залежність між однією вхідною і однією вихідною змінними.

 

Цілі регресійного аналізу

Визначення наявностьіі характер у зв'язку між змінними (математичного рівняння, що описує залежність)

Спрогнозувати значення залежної змінної за допомогою незалежної

Визначити вклад незалежних змінних у варіацію залежної

 

Знайдемо значення коефіцієнта регресії (А₁) і вільного члена рівняння (A₀)

 

Виміри вхідного параметра Х і вихідного Y задані таблицею:

 

X1	16,24	16,19	16,25	16,41	16,36	16,52	16,64	16,81	16,93	16,83	16,90	16,23	16,30	16,33	16,74	16,72
Y1

 

 

Обчислення будемо виконувати, застосовуючи пакет Mathcad

Розв’яжемо задачу спочатку для Х1.

Предстадставимо початкову інформацію у вигляді векторів, вводячи перепозначення:

 

 

, ,

 

Визначимо суми елементів векторів і добутки векторів:

 

,

 

=136 =264,4

 

 

S_XX = XX, S_YY = YY, S_YX = XY,

 

S_XX = 1496 S_YY = 4370 S_YX = 2255

 

Визначимо параметри рівняння регресії, позначивши:

N=16,

 

 

, A=16*1496 -136² =5440,

 

B

N

SYX

×

SX

SY,

×

-

:=

B=16*2255 – 136*264,4 =127,36;

C

×

:=

SY-X×SXY,

×

SXX

C=1496*264.4-136*2255=88860.

 

Вільний член рівняння регресії А₀:

 

A₀ = = 16,326.

 

Коефіцієнт рівняння регресії А₁

 

A₁= , A₁ = = 0,023.

 

y(x) = 0,023 x +16,326.

 

Графічне зображення лінії рівняння регресії і точок кореляции

Рис.1 Пряма регресії

 

Рис.2 Багатокутник розподілу