Залишковий член інтерполяційної формули

Зміст

Розділ 1… …………………………………………..………………………………...4

1.1 Задача інтерполяції …………………………….…….4

1.2 Інтерполяційний многочлен Лагранжа. ………………………………....5

1.3 Залишковий член інтерполяційної формули. …………………6

Розділ 2 ………………………………………………………………………………8

2.1 Статистичне дослідження масива показників……..…………………………..8

2.2 Основні поняття…………………………………………...……………………..9

2.3Лінійна регресія…………………..…………………………………………….11

2.4 Перевірка адекватності регресійної моделі……………………….……........18

Список літератури. ……………….……………………………………………24

 

Розділ 1

Задача інтерполяції

Задача інтерполяції – частинна, але досить поширена задача наближення функцій. Нехай в точках відомі значення деякої функції . Нехай значення відмінне від , , треба знайти значення .

Розглянемо сукупність функцій, досить простих і таких, що легко обчислюються, наприклад функцій, які лінійно залежать від параметрів :

, (1)

де , – фіксовані функції. З усіх функцій сукупності (1) виберемо ту, для якої виконуються рівності

. (2)

Рівності (2) складають систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів :

. (3)

Покладемо

,

де – розв'язок системи (3).

Такий спосіб наближення функцій зветься інтерполяцією, а точки , – вузлами інтерполяції.

Найбільш вивченим є випадок інтерполяції многочленами, коли

;

, (4)

і система (3) має вигляд

. (5)

 

Якщо припустити, що при , то система (4) має єдиний розв'язок, тому що її визначник відмінний від нуля (визначник Вандермонда). Звідси випливає, що серед усіх многочленів вигляду (4) існує єдиний многочлен такий, що задовольняє умови (5).

Спосіб побудови інтерполяційного многочлена, за яким коефіцієнти визначаються безпосереднім розв’язанням системи (5), зветься способом невизначених коефіцієнтів, а зображення інтерполяційного многочлена у формі (4) – степеневим зображенням.

Оптимальна схема обчислення форми (4) – схема Горнера:

, (6)

яка потребує операцій множення і операцій додавання.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа

 

Так називають наступну форму запису інтерполяційного многочлена:

. (7)

Інтерполяційний многочлен Лагранжа зображають також у вигляді

,

де

.

Многочлени

, (8)

називають множниками Лагранжа. Очевидно,

Обчислення можна організувати економічно, якщо записати (7) у вигляді [8]

, (9)

де

. (10)

 

Залишковий член інтерполяційної формули

 

Припускаючи вузли інтерполяції відмінними один від другого, а функцію такою, що має неперервну похідну порядку на проміжку , де розміщені вузли інтерполяції, можна записати залишковий член інтерполяційної формули

на цьому проміжку у вигляді

, (11)

де

.

Тоді

, (12)

де

.

 

Розглянемо фрагмент таблиці функції

 

	1,4	1,5	1,7	1,8
	2,38545	2,49749	2,69166	2,77385

 

Запишемо многочлен Лагранжа, використовуючи всю наявну інформацію, тобто покладаючи , у вигляді

 

.

 

Обчислимо значення в точці , оцінивши спочатку відповідно до формули (12).

 

,

 

; .

Отже

.

 

Скористаємось формою запису інтерполяційного многочлена (9). Усі обчислення розташуємо в таблиці 1.

 

Таблиця 1

		,	,
	0,2	– 0,1	– 0,3	– 0,4	– 0,012	2,38545	– 993,938
	0,1	0,1	– 0,2	– 0,3	0,006	2,49749	4162,48
	– 0,1	0,3	0,2	– 0,1	– 0,006	2,69166	4486,10
	– 0,2	0,4	0,3	0,1	0,012	2,77385	– 1155,77

 

, .

Для порівняння наведемо значення функції для з п’ятьма точними десятковими знаками: .

Очевидно, похибка не перевищує 10^-4.

 

Розділ 2