Общие сведения о волновых пpоцессах

УПРУГИЕ ВОЛНЫ

 

Упругие волны - периодический во времени и пространстве процесс распространения колебаний в сплошной среде. Сплошной называется среда, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. В волновом процессе каждая из частиц среды не перемещается вслед за волной, а колеблется около положения равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается состояние колебательного движения и его энергия.

Основное свойство всех волн – перенос энергии без переноса вещества.

Общие сведения о волновых пpоцессах

 

Упругие волны бывают продольными и поперечными (рис. 3.1). В продольных волнах колебания частиц происходят в направлении распространения волны (рис. 3.1, а, частицы среды изображены вертикальной чертой). Такие волны возбуждаются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т. е. в твердых, жидких и газообразных телах.

В поперечных волнах частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны (рис. 3.1, б). Такие волны возбуждаются в средах под действием упругих сил, вызывающих деформации сдвига, т. е. в твердых телах.

Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, в твердых телах –как продольные, так и поперечные.

 

 

 

а б Рис. 3.1.

 

Скорость распространения упругой волны u зависит от вида деформаций и определяется формулами

 

(3.1)

 

для продольной и поперечной волны соответственно. Здесь r – плотность среды; Е – модуль Юнга среды; N – модуль сдвига. В изотропном теле по любому направлению могут распространяться продольная упругая волна и две поперечные волны со взаимно перпендикулярным направлением поперечных колебаний. Так как N и E различаются, продольные и поперечные волны распространяются с разной скоростью.

На различии этих скоростей в земной коре основано определение места землетрясения или подземного ядерного взрыва. Так, скорость продольных сейсмических волн в 1, 7 раза больше скорости поперечных (сейсмические волны – это низкочастотные звуковые волны в твердой упругой Земле). Поэтому продольные волны достигают сейсмической станции раньше, чем поперечные. Промежуток времени между двумя сигналами, регистрируемыми сейсмографом, позволяет определить расстояние до эпицентра землетрясения.

Волновым полем называется область пространства, внутри которой колеблются все частицы среды.

Фронт волны – геометрическое место точек, до которых колебания доходят к моменту времени t. Фронт волны движется.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства. Поэтому их можно провести множество, а фронт волны в данный момент времени – один.

Луч – линия, перпендикулярная к фронту волны, в направлении которой волна распространяется и переносит энергию.

По форме волнового фронта различают плоские, сферические волны и т.п. (рис. 3.2)

 

Рис. 3.2.

 

Длина волны l– кратчайшее расстояние между частицами, колеблющимися в одинаковых фазах. По физическому смыслу длина волны - это pасстояние, на котоpое pаспростpаняется опpеделенная фаза колебаний за пеpиод, т.е.

l = u × Т = u /n = 2p u / w, (3.2)

 

где Т – период колебаний; w – циклическая частота колебаний (w = 2pn); u – фазовая скорость распространения колебаний.

Уpавнение бегущей волны

 

Для вывода уравнения бегущей волны используем рис. 3.3, на котором показано положение фронта плоской волны в разные моменты времени.

 

Рис. 3.3

 

В момент времени t все частицы, лежащие на фронте волны, колеблются согласно уравнению x = А cos(w t), где x – смещение частицы от положения равновесия.

Через время t фронт сместится на расстояние х, колебания частиц среды в новом положении будут запаздывать по времени на величину tотносительно прежнего положения и описываться уравнением x = А cos w (t -t), где t = х /u. Тогда

 

x (х, t) = А cos w (t - х/u) = А cos (w t -w × х/u). (3.3)

 

Для характеристики волн используется волновое число k: (3.4)

В общем случае с учетом (3.4) уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид

x _х,t = А cos (w t - kх + j₀), (3.5)

 

где А – амплитуда волны; j₀ – начальная фаза волны, определяемая началом отсчета х и t; (w t - k х + j₀) – фаза плоской волны.

Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси х, имеет вид

 

x _х,t = А cos (w t + kх + j₀).

 

В уравнении волны x зависит от двух переменных t и х, так как волна – процесс периодический во времени и пространстве.

Если в уpавнениях (3.3, 3.5) зафиксиpовать t и менять х, то можно построить график плоской гармонической бегущей волны (мгновенный снимок волны), распространяющейся со скоростью u вдоль оси х (рис. 3.4). Он отражает зависимость смещения частиц среды x от расстояния х этих частиц (например, частицы А) до источника колебаний, расположенного в точке x = 0. Показана длина волны l как кратчайшее расстояние между точками, имеющими одинаковые фазы колебаний.

 

Рис. 3.4

В следующий момент вpемени t + D t весь гpафик (пунктир на рис. 3.5) смещается впpаво или влево относительно начала кооpдинат в зависимости от напpавления pаспpостpанения колебаний.

 

 

Если зафиксируем x, то получим гpафик колебания точки, находящейся на pасстоянии x от источника колебаний (pис. 3. 6). Сравним графики на рис. 3.4 и 3.6. Они похожи формально, но различны по существу: график x (х) волны отражает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени; график x(t) колебания – зависимость смещения данной частицы от времени.

 

 

 

При фиксированном значении х уравнение волны (3.5) становится уравнением колебания x(t) = А cos (w t + j) с начальной фазой j = - kx + j_0., откуда видно, что начальная фаза колебаний и вся фаза в целом зависит от расстояния х точки до источника колебаний. Поэтому Dj, разность фаз колебаний двух точек, находящихся на расстояниях х ₁ и х ₂ от источника колебаний, определяется выражением (по модулю)

 

Dj = k (x ₂ - x ₁) = k D x. (3.6)

 

П р и м е р 1. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью 340 м/с. Частота колебаний частиц воздуха равна 170 Гц, их максимальное отклонение от положения равновесия равно 0,3 мм. Найти длину волны, записать уравнение волны, построить ее график.

Р е ш е н и е. Длина волны l = u × Т = = u /n, l= 340/170 = 2 м.

Для записи уравнения волны в виде x (х, t) = = А cos(w t - kх) определим w = 2pn = 2p∙170 = =340p с^-1, k = 2p/l = =2p/2 = p м^-1. Получим уравнение волны x (х, t) = 3×10^-4 cos (340p t - p х) м и ее график (рис. 3.7).

П р и м е р 2. Уравнение плоской бегущей волны имеет вид x (х, t) = 0,1cos (p t /2 -p x /20) м. Нужно: 1) определить длину волны; 2) найти разность фаз колебаний двух точек 1 и 2, находящихся от источника колебаний на расстояниях, соответственно, 20 и 60 м; 3) записать уравнение колебаний точки 1 и построить график этих колебаний

Р е ш е н и е. Длину волны найдем через волновое число в уравнении волны: k = 2p/l = p/20 м^-1; 2/l =1/20; l = 40 м. Для определения разности фаз колебаний используем формулу (3.6):

 

Dj = p(60 - 20) / 20 = 2p.

 

Подставим в уравнение волны координату точки 1, получим уравнение колебаний

x (t) = 0,1cos (p t /2 - p) м.

 

Для построения графика (рис. 3.8) амплитуду колебаний берем из условия задачи, период колебаний определяем через циклическую частоту: Т = 2p/w, т.е. Т = 2p/(p/2) = 4 с.