3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582
Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби. Вместо того, чтобы доказывать иррациональность числа π, Евклид рассмотрел квадратный корень из двух, √2, — число, которое при умножении на себя дает число 2. Чтобы доказать, что число √2 не представимо в виде обыкновенной дроби, Евклид воспользовался доказательством от противного и предположил, что число √2 представимо в виде обыкновенной дроби. Затем он показал, что эту гипотетическую дробь всегда можно упростить. Упрощение дроби означает, что числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же целое число. Например, дробь 8/12 можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 2 и превратив ее в дробь 4/6. В свою очередь, дробь 4/6 можно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже дальнейшему упрощению не поддается, почему и называется несократимой дробью. Евклид показал, что гипотетическая дробь, по предположению представляющая число √2, может быть упрощаема снова и снова бесконечное число раз, но так и не приводится к несократимому виду. Но это нелепо, так как все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не может существовать. Это означает, что число √2 не представимо в виде дроби и, следовательно, иррационально. Ход доказательства Евклида приведен в Приложении 2.
Используя доказательство от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа или обыкновенные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали традиционное представление чисел. Не существует иного способа описать число, равное квадратному корню из 2, как записав его в виде √2, поскольку его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а любая попытка записать √2 в виде десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…
Хотя Евклид, несомненно, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Истинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Этот свод геометрических знаний был настолько полным, что содержание «Начал» составляло основу программ по геометрии в школах и университетах на протяжении следующих двух тысяч лет.
Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Хотя достижения Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом замечательном математике не известно. Не известно, где он родился. В Александрию Диофант мог прибыть в любое время на протяжении «окна», протяженностью в пять веков! В своих сочинениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего можно сделать вывод, что Диофант жил после 150 года до н. э.; с другой стороны, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего следует, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной обычно считается дата — около 250 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, словно специально предназначенной любителям математики:
«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».
Требовалось вычислить продолжительность жизни Диофанта. Решение этой задачи приведено в Приложении 3.
Эта головоломка может служить примером задач того рода, которые любил Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Ныне такие задачи известны под названием диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.
На протяжении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия продолжала оставаться интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но весь этот период великий город находился под угрозой нападения иностранных армий. Первое крупное нападение произошло в 47 году до н. э., когда Юлий Цезарь предпринял попытку сбросить Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная неподалеку от гавани, сильно пострадала от пожара. Сотни тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по достоинству ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась восстановить ее в прежней славе. Марк Антоний понял, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и пошел маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города надеялись, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, отправив все собрание книг в Египет и восстановив тем самым главенство Александрии.
На протяжении четырех следующих веков Библиотека продолжала пополнять свою коллекцию — до 389 года н. э., когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Причиной обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу разрушить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было разрушено, а «языческие» ученые, пытавшиеся спасти рукописи, накопленные за шесть веков, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних веков.
Несколько драгоценных экземпляров наиболее важных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые продолжали наведываться в Александрию в поисках знания. Но в 642 году последовало нападение мусульман. На этот раз поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар заявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть уничтожены как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, также должны быть уничтожены как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не удивительно, что большая часть «Арифметики» Диофанта оказалась уничтоженной. Следует считать чудом, что шесть книг «Арифметики» смогли уцелеть, пережив трагедию Александрии.
Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и только несколько выдающихся ученых Индии и Аравии не дали ей окончательно угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул утраченные теоремы. Кроме того, они пополнили математику новыми элементами и среди прочего изобрели число нуль.
В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.
Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.
В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.
В X веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в церквах и школах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он был избран папой Сильвестром II, и это позволило ему способствовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И хотя необычная эффективность новой системы счисления произвела подлинный переворот в выполнении всех счетных операций и была быстро воспринята купцами, она слабо способствовала оживлению европейской математики.
Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи, спасенные после уничтожения Александрии, нашли убежище в Константинополе, и теперь снова оказались под угрозой уничтожения. Византийские ученые бежали на запад, прихватив с собой те тексты, которые могли унести. Пережив нападения Цезаря, епископа Теофила, халифа Омара, а теперь еще и турок, несколько драгоценных книг «Арифметики» Диофанта проделали обратный путь в Европу. Судьба распорядилась так, чтобы сочинение Диофанта оказалось на письменном столе Пьера де Ферма.
Рождение проблемы
Судебные обязанности Ферма поглощали значительную часть его времени, а те скудные часы досуга, которые все же оставались, Ферма целиком посвящал математике. Отчасти это объяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.
Считалось, что друзья и светские знакомые судей сами могут оказаться под судом, и тогда личные связи могут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от остальной части высшего общества Тулузы, Ферма мог сосредоточиться на своем любимом занятии.
Фронтиспис перевода «Арифметики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и опубликованного в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его исследования
Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде ряда задач и их решений. В действительности Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Арифметике» Ферма мог найти все, что было известно о числах благодаря трудам последователей Пифагора и Евклида. Теория чисел замерла после варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.
Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Арифметики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, поэт и знаток классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач под названием «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres» [2]. В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и несколько фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков наименьший набор гирь, который позволит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»
Баше нашел остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям можно, располагая набором всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.
Хотя Баше был в математике всего лишь дилетантом, его интерес к задачам-головоломкам был настолько велик, что позволил ему осознать: задачи, приведенные в «Арифметике» Диофанта, — не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его с тем, чтобы вдохнуть в методы греческих математиков новую жизнь. Следует иметь в виду, что подавляющее большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали даже в самых крупных европейских университетах, и только благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро возрождаться. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Арифметики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.
В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного — получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и стал помышлять о том, чтобы самому заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.
Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.
Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» [3]рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву.
Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.
В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел
(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)
делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.
Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.
Например, Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 52 = 5·5), а другое — куб (27 = 33 == 3·3·3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.
Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным — можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые в конце концов были вынуждены признать свое поражение.
События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу оказался еще один вызов, брошенный им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного обсуждения.
Заметка на полях
При чтении II-й книги «Арифметики» Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20, y = 21, z = 29 и 202 + 212 = 292).
Ферма был поражен разнообразием и обилием пифагорейских треугольников. Он знал, что за много веков до него Евклид доказал (общий ход предложенного Евклидом доказательства см. в Приложении 5), что число пифагоровых троек бесконечно велико. Возможно, Ферма просматривал в очередной раз подробное изложение теории пифагоровых троек у Диофанта и прикидывал, нельзя ли сказать что-нибудь новое по этому поводу. Записывая то так, то эдак уравнение Пифагора, Ферма все старался заметить нечто такое, что ускользнуло от древних греков. Внезапно ему пришла в голову гениальная мысль, обессмертившая имя «князя любителей»: Ферма придумал уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но не имевшее ни одного решения в целых числах! Именно об этом уравнении и узнал десятилетний Эндрю Уайлс, заглянув в книгу Белла, взятую в публичной библиотеке на Милтон-роуд.
Вместо уравнения Пифагора x 2 + y 2 = z 2 Ферма занялся рассмотрением его варианта x 3 + y 3 = z 3. Ферма всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение, насколько можно было судить, вообще не допускало никаких решений в целых числах. «Методом проб и ошибок» нетрудно было обнаружить, что найти два куба, которые бы в сумме давали еще один куб, не так-то просто. Неужели произведенное Ферма незначительное изменение действительно превращает уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах?
Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа бóльшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений столь же трудно. И Ферма решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению
xn + yn = zn, где n = 3,4,5…
На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere» [4].
Фронтиспис издания «Арифметики» Диофанта опубликованного Клеманом-Самюэлем Ферма в 1670 году. В этом варианте были напечатаны и заметки на полях, оставленные отцом издателя — Пьером де Ферма
Рис. 6. Страница издания «Арифметики» Диофанта (1670 г.), содержащая знаменитое замечание Пьера де Ферма
Не было причин, по которым среди всех целых чисел не должно было бы существовать по крайней мере одной тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнениям Ферма, тем не менее Ферма утверждал, что во всем бесконечном мире чисел нет ни одной «тройки Ферма». Утверждение было весьма необычным, но Ферма полагал, что располагает его доказательством. После первой заметки на полях, наметившей общие контуры теории, гений, любящий позабавиться над коллегами-математиками, начертал еще один комментарий, над которым впоследствии ломало голову не одно поколение математиков:
«Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet» [5]. В этом — весь Ферма, все то, что особенно раздражало современных ему математиков. Из его собственных слов можно заключить, что он весьма доволен своим «поистине удивительным» доказательством, но ему и в голову не приходит дать себе труд написать подробности доказательства и уж тем более опубликовать его. Он так никому и не рассказал о своем доказательстве, но, несмотря на характерную для Ферма комбинацию лени и скромности, Великая теорема Ферма, как ее стали называть позднее, обрела неслыханную славу в грядущих веках.
