Из условия (1) вытекает, что 
. Тогда 
, так как 
при 
. Теорема доказана.
Следствие 1. Условие (2) можно записать в следующей форме: 
.
Следствие 2. Если функция f дифференцируема в точке 
, то представление (1) или (2) единственно, то есть числа Ai, равные частным производным, определяются единственным образом.
Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. В самом деле, из условия (1) дифференцируемости вытекает, что 
, а это означает, что функция непрерывна в точке .
3. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости
Мы уже обратили внимание, что из существования функции всех частных производных в точке не вытекает её непрерывность в этой точке, и тем более, дифференцируемость. Докажем следующую теорему.
Теорема 3. Если функция f имеет все частные производные в некоторой окрестности точки 
и все эти частные производные непрерывны в точке 
, то функция f дифференцируема в точке .
Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных u=f(x,y). Итак, пусть обе частные производные 
существуют в окрестности точки (x0,y0) и непрерывны в этой точке. Взяв приращения 
и 
столь малыми, чтобы не выйти из указанной окрестности, рассмотрим приращение 
Выражение 
можно рассматривать как приращение функции 
одной переменной x на отрезке 
. Тогда согласно теореме Лагранжа найдется такое 
,
что 
. Аналогично, 
.
Так как 
и 
непрерывны в точке (x0,y0), то 
, 
, где α и β – бесконечно малые при 
и 
функции. Используя это, получим: 
. Это равенство означает дифференцируемость функции f в точке (x0,y0). Теорема доказана.
4. Дифференцирование сложной функции
Рассмотрим сложную функцию 
, где 
(3)
Теорема 4. Пусть функции (3) дифференцируемы в точке 
, а функция u=f(x1,x2,…,xm) дифференцируема в точке 
, где 
Тогда сложная функция 
дифференцируема в точке 
, при этом частные производные вычисляются по формулам 
Доказательство. Возьмем приращения 
. Им соответствуют приращения 
функций (3) в точке . Приращениям, в свою очередь, соответствует приращение 
функций u=f(x1,x2,…,xm) в точке . Так как функция f дифференцируема в точке , то 
. В силу дифференцируемости функций (3) в точке
Подставив последние равенства, получим: 
Осталось доказать, что последние две суммы представляют собой величину 
. Очевидно, что 
. Далее, 
. Так как 
, то 
.
Итак, 
, что означает дифференцируемость сложной функции, причем 
. Теорема доказана.
Замечание. Рассмотрим важный частный случай, когда 
. Тогда 
.
5. Дифференциал функции многих переменных. Инвариантность формы первого дифференциала.
Определение. Дифференциалом 
дифференцируемой в точке функции u=f(x1,x2,…,xm) называется главная линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке , то есть 
.
Используя теорему 1, перепишем 
.
Введем понятие дифференциала 
независимой переменной 
. Под дифференциалом независимой переменной можно понимать любое число. Будем брать это число, равным приращению 
независимой переменной . Тогда 
(4)
Докажем, что формула (4) справедлива и в том случае, когда аргументы x1,x2,…,xm сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных t1,t2,…,tk. Это свойство называют свойством инвариантности формы первого дифференциала.
Пользуясь теоремой 4, получим 
Свойство инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила дифференцирования. Пусть u и v – дифференцируемые функции. Тогда 
Докажем, например, справедливость третьего равенства. Рассмотрим функцию 
двух переменных u и v. Тогда 
В силу инвариантности формы первого дифференциала выражение 
будет дифференциалом функции 
и в случае, когда u и v сами являются дифференцируемыми функциями каких-либо переменных.
Задание. Доказать остальные равенства.
6. Производная по направлению. Градиент.
Начнем с рассмотрения функции трех независимых переменных 
. Пусть эта функция определена в некоторой окрестности точки M0(x0,y0,z0) и дифференцируема в этой точке.
Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки M0(x0,y0,z0). Каждый такой луч задается единичным вектором 
.
Взяв на прямой, содержащей этот луч, точку M(x,y,z), рассмотрим вектор 
, где l – длина отрезка M0M. С другой стороны, 
. Сопоставляя эти равенства, получим: 
и рассмотрим сложную функцию одной переменной l 
.
Определение. Производную указанной сложной функции по переменной l, взятой в точке l=0, называют производной функции u=f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) по направлению вектора 
, и обозначают символом 
.
Согласно теореме 4, 
. (5)
Определение .Градиентом функции u=f(x,y,z) в точке M0(x0,y0,z0) называют вектор с координатами 
. Вектор градиент обозначают символом grad u.
Итак, 
. Тогда производная по направлению является скалярным произведением вектора 
и вектора : 
. Так как 
, где φ – угол между векторами и 
, а 
, то 
. Тогда максимальное значение получается при 
, то есть при совпадении направления с направлением , причем в этом направлении 
.
Итак, мы доказали два утверждения:
1. производная функции u=f(x,y,z) в точке (x0,y0,z0) по направлению, определенному градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению;
2. значение производной по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке, равно 
, то есть длине вектора в данной точке.
Для выполнения геометрического смысла вектора введем понятие поверхностей уровня функции u=f(x,y,z). Множество точек, удовлетворяющих уравнению f(x,y,z)=c=const, называется поверхностью уровня.
В каждой точке (x0,y0,z0) поверхности уровня f(x,y,z)=c нормальным вектором к касательной плоскости будет являться вектор , другими словами, вектор ортогонален к поверхности уровня.
Аналогичные выводы можно сделать относительно производной по направлению и вектора для функции m переменных, в частности для функции двух переменных.
Задание. Провести выкладки самостоятельно.
Частные производные и дифференциалы высших порядков
7. Частные производные высших порядков
Пусть частная производная 
функции u=f(x1,x2,…,xm), определенной на области G, существует в каждой точке этой области. Таким образом, представляет собой функцию переменных x1,…,xm, также определенную на области G. Если эта функция имеет частную производную по переменной xk в некоторой точке М области, то указанную частную производную 
называют частной производной второго порядка функции f в точке М сначала по переменной xi, а затем по переменной xk и обозначают одним из следующих символов: 
. При этом если 
, то частная производная 
.
Предположим, что уже введено понятие (n-1)-ой частной производной 
. Тогда если эта (n-1)-я частная производная имеет в точке М частную производную по переменной 
, то указанную частную производную называют n-й частной производной функции f в точке М, т.е. 
.
Если не все индексы 
совпадают между собой, то эта частная производная называется смешанной.
Таким образом, мы ввели понятие n-й частной производной индуктивно.
Далее мы выясним достаточные условия независимости смешанных производных от порядка дифференцирования.
Сначала введем важное понятие.
Определение. Пусть n=2,3,… Назовем функцию n-дифференцируемой в точке , если эта функция (n-1)-дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки и все её частные производные порядка (n-1) являются дифференцируемыми в точке функциями.
Заметим, что при этом для любого k, удовлетворяющего условию 
, любая её частная производная порядка k будет (n-k) дифференцируемой в этой точке. Принято также считать функцию 0-дифференцируемой в точке, если она непрерывна в этой точке.
Для того, чтобы функция f была n-дифференцируема в точке достаточно, чтобы все её частные производные n-ого порядка существовали в окрестности точки и являлись непрерывными в этой точке функциями.
Справедливость этого утверждения вытекает из определения n-дифференцируемости и теоремы 3 о достаточных условиях дифференцируемости.
Теорема 1. Пусть функция u=f(x,y) 2-дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда в этой точке частные производные 
и 
равны.
Доказательство. Так как функция f 2-дифференцируема в точке M0(x0,y0), то частные производные 
и 
определены в некоторой 
-окрестности точки M0 и дифференцируемы в этой точке.
Рассмотрим выражение 
, где h достаточно мало, так что точка M0(x0+h,y0+h) находится в указанной -окрестности точки M0. Выражение Ф можно рассматривать как приращение 
дифференцируемой на отрезке 
функции 
одной переменной x. Поэтому по формуле Лагранжа найдется 
такое, что, 
Так как дифференцируема в точке M0, то 
, где 
- бесконечно малые при 
функции. Тогда 
, где 
- бесконечно малая при функция.
С другой стороны, рассматривая 
как приращение 
, аналогично предыдущему получим выражение для Ф: 
, где 
- бесконечно малая при функция. Тогда 
. Перейдя к пределу при , получим 
. Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о равенстве смешанных производных.
Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) функция f имеет частные производные 
и производные и непрерывны в точке M0. Тогда .
Доказательство. Воспользуемся выражением Ф из доказательства предыдущей теоремы 
. Применяя к этой разности формулу Лагранжа по переменной y на отрезке [y0,y0+h], получим: 
, где 
. В силу непрерывности в точке M0(x0,y0) получим 
, где 
при . Следовательно, 
, и перейдя к пределу при , получим . Теорема доказана.
Докажем теперь теорему о независимости значения любой смешанной производной от порядка дифференцирования.
Теорема 3. Пусть функция u=f(x1,x2,…,xm) n-дифференцируема в точке 
. Тогда в этой точке значение любой смешанной производной n-ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.
Доказательство. Очевидно.
Достаточно доказать равенство 
.
Рассмотрим функцию 
как функцию двух переменных 
и 
. Тогда в силу теоремы 1 
. Остальное очевидно. Теорема доказана.
Отметим, что любую частную производную n-го порядка можно записать в виде 
, где 
- целые числа, удовлетворяющие условиям: 
.
8. Дифференциалы высших порядков
Чтобы дать определение дифференциалов высших порядков, введем еще одно обозначение первого дифференциала функции u=f(x1,x2,…,xm) 
. То есть мы заменили 
на 
соответственно. В прежних обозначениях 
.
Правая часть равенства есть функция переменных x1,x2,…,xm; и если функция f 2-дифференцируема в точке M(x1,…,xm), то можно рассмотреть её дифференциал 
.
Определение. Значение 
дифференциала от первого дифференциала, взятое при 
, называется вторым дифференциалом функции f (в данной точке М) и обозначается символом 
.
Итак, 
.
Дифференциал dnu любого порядка n введем по индукции.
Предположим, что определен дифференциал dn-1u порядка n-1 и функция f n-дифференцируема в точке M(x1,…,xm), а её аргументы x1,…,xm являются либо независимыми переменными, либо n-дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных t1,…,tk.
.
При вычислении второго и последующих дифференциалов приходится различать два случая.
1) Пусть аргументы x1,…,xm являются независимыми переменными. Тогда 
, так как 
для всех точек M(x1,…,xm).
Следовательно,
(Мы воспользовались еще и тем, что смешанные производные 2-го порядка не зависят от порядка дифференцирования).
И далее по индукции 
.
Введем формальный символ 
. Тогда можно записать 
и 
(*)
2) Пусть аргументы x1,…,xm являются 2-дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных t1,…,tk. Тогда 
Или 
(**)
Сравнивая формулы (*) и (**), делаем вывод, что второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы. Тем более не обладают этим свойством все последующие дифференциалы.
Замечание. Укажем важный частный случай, когда 2-дифференциал и последующие дифференциалы функции u=f(x1,x2,…,xm) определяются той же самой формулой (*), что и для случая независимых переменных x1,x2,…,xm.
Пусть переменные x1,x2,…,xm являются линейными функциями независимых
переменных t1,…,tk: 
, где 
- постоянные.
Так как любая частная производная выше первого порядка от линейной функции равна нулю, то 
. Следовательно, n-дифференциал определяется формулой (*).
9. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Пусть функция u=f(x,y) двух переменных n-дифференцируема в окрестности точки (x,y), и и достаточно малы, чтобы точка 
принадлежала указанной окрестности.
Тогда и отрезок с концами (x,y) и содержится в ней.
Рассмотрим сложную функцию 
, определенную на отрезке [0,1] и дифференцируемую на нем (в силу теоремы 4 о дифференцируемости сложной функции).
Имеем: 
. Далее по индукции получим, что 
В аналогичной ситуации для функции u=f(x1,x2,…,xm) имеем: 
и 
Докажем важную теорему.
Теорема 4. Пусть 
и функция u=f(x1,x2,…,xm) n-дифференцируема в некоторой окрестности точки 
, а отрезок 
содержится в ней. Тогда 
(2)
где 
(3)
Равенство (2) называют формулой Тейлора с достаточным членом (3) в интегральной форме.
Доказательство. Рассмотрим функцию . Тогда при 
в силу формулы Тейлора для функции одной переменной 
.
Полагая 
, получим: 
.
Подставляя в полученное равенство в соответствии с формулой (1) значения 
, получаем утверждение теоремы.
Замечание 1. Если остаточный член формулы Тейлора для функции 
записать в форме Лагранжа, т.е. 
, где 
, то мы получим остаточный член формулы (2) в виде 
(4)
Эту форму, так же как и в случае функции одной переменной, называют формой Лагранжа остаточного члена формулы Тейлора.
Замечание 2. Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа можно переписать в виде: 
, где в дифференциале функции f 
и 
10. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Теорема 5. Пусть функция u=f(x1,x2,…,xm) n-дифференцируема в точке . Тогда существует непрерывная в точке функция 
такая, что 
и для всех 
имеет место равенство 
(5), где 
. Дифференцируемость n раз функции f в точке x0 предполагает её (n-1)-дифференцируемость в некоторой окрестности точки x0.
Доказательство. Положим для всех 
Нужно лишь доказать, что 
Докажем по индукции.
Для n=0 и n=1 это следует из определения соответственно непрерывности и 1-дифференцируемости функции f в точке 
Пусть 
, и пусть теорема верна для i=n-1. Докажем её для i=n.
Найдем производную 
. Предварительно убедимся, что для k=1,…,n при фиксированных x2,x3,…,xm 
При фиксированных x2,x3,…,xm величину 
можно рассматривать как постоянную, поскольку символы 
используются для образования частных производных функции f в фиксированной точке . Поэтому 
Следовательно, 
Но это есть остаточный член в формуле Тейлора порядка n-1, примененной к функции 
По предположению индукции 
Совершенно аналогично получим, что для i=2,…,m 
Тогда взяв точку из указанной окрестности точки и заметив, что 
и применив формулу Тейлора порядка 1 с остаточным членом в форме Лагранжа будем иметь 
Где 
- точка, промежуточная между и . Следовательно, Теорема доказана.
Замечание. Остаточный член формулы (5) в виде 
записывают короче в виде 
, где 
, и называют остаточным членом в форме Пеано.
