Винеровский процесс, или процесс броуновского движения, имел большое значение при разработке теории случайных процессов. Многие распределения, используемые в теории управления, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами.
В 1827 г. английский ботаник Р. Броун заметил, что маленькие частицы диаметром около микрона, погруженные в жидкость, находятся в постоянном хаотическом движении. В 1905 г. А. Эйнштейн объяснил это движение как результат столкновения частиц с молекулами жидкости. Он разработал математическую модель броуновского движения. Строгий математический анализ броуновского движения дал Н. Винер в 1923 г.
Рассмотрим движение частицы на координатной прямой. Зафиксируем координату x броуновской частицы на числовой прямой и будем считать, что изменение положения частицы происходит в моменты времени, кратные 
, влево и вправо на с равной вероятностью.
x
Пусть случайный процесс 
задаёт положение частицы в момент времени 
. Предположим, что
1) 
.
2) 
-- процесс с независимыми приращениями, т.е. 
и 
-- независимые случайные величины.
 |
0 t t + s
3) Приращения на промежутках одинаковой длины 
и одинаково распределены.
Т.к. отдельное смещение мало (за время ), естественно считать, что положение частицы в момент времени t определяется как сумма малых смещений, к которой применима центральная предельная теорема.
Определение. Броуновским движением называется случайный процесс 
, для которого выполняются следующие условия:
1) ;
2) -- процесс с независимыми приращениями;
3) приращения имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 
, т.е. 
.
В силу независимости приращений 
, тогда 
, 
.
Если 
, то броуновское движение называется винеровским процессом и обозначается 
или 
.
Определение. Винеровским процессом 
называется процесс, для которого:
-
; - -- процесс с независимыми приращениями;
-
.
Обозначим через 
, 
-- переходная плотность винеровского процесса:
.
Найдем функцию 
:
.
Тогда переходная плотность 
.
Можно показать, что эта плотность удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка-Колмогорова:
.
Некоторые свойства Винеровского процесса:
1. У Винеровского процесса существует модификация с непрерывными траекториями (с вероятностью 1 траектории Винеровского процесса являются непрерывными).
2. С вероятностью 1 траектории Винеровского процесса не имеют производные ни в одной точке.
3. С вероятностью 1 траектории Винеровского процесса имеют неограниченную вариацию на любом конечном интервале.
4. Сумма квадратов приращений Винеровского процесса, соответствующих их разбиению на 
, сходится к длине этого отрезка в среднем квадратическом смысле при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, т.е.
, 
.
Доказательство. Рассмотрим 
