4.1 Пытаясь определить расстояния планет от Солнца и их периоды обращения из наблюдений, вы фактически оказываетесь в положении Иоганна Кеплера, в распоряжении которого как раз и были только "сырые" данные о положении планет на небесной сфере, и который определял по этим данным расстояния и периоды с тем, чтобы установить законы движения планет.
Итак, рассмотрим сначала нижнюю планету -- Венеру. Следует дождаться элонгации Венеры и измерить наибольший угол, на который планета удаляется от Солнца. Вы получите 
. Нарисуйте нехитрый рисунок, изображающий круговые орбиты Земли и Венеры, произвольное положение Земли и Венеру в элонгации. Прямая Земля -- Венера при этом является касательной к орбите Венеры. Из рисунка очевидно, что синус угла элонгации, т.е. 
, равен искомому радиусу орбиты Венеры в астрономических единицах.
Расстояние найдено, определим теперь из наблюдений период обращения ("забыв" про третий закон Кеплера). Следует дождаться повторения одной из конфигураций Венеры --например, восточной элонгации. Это даст синодический период обращения Венеры, 590 суток. Пользуясь уравнением синодического движения, найдем искомый сидерический период P:
откуда P = 225 суток.
Перейдем к внешней планете -- Юпитеру. Наблюдения показывают, что после противостояния S - T - J (см. рис.) Юпитер движется 2 месяца попятным движением. Затем в течение 9 месяцев происходит прямое движение. После этого вновь начинается попятное движение, и через 2 месяца наступает следующее противостояние. Итак, синодический период обращения планеты, т.е. промежуток времени от одного противостояния до другого, равен T = 2+9+2 = 13 месяцам. Искомый сидерический период P найдем из уравнения синодического движения для внешней планеты:
где время измеряется в годах, откуда
(Более аккуратные наблюдения дадут более точное значение, 12 лет.)
Вновь подавив в себе соблазн применить третий закон Кеплера, определим теперь из наблюдений расстояние от Юпитера до Солнца. Сделать это несколько труднее, чем в случае Венеры. Рассмотрим вновь момент противостояния, S - T - J. Через 2 месяца после этого (точнее, через 59 суток) наступит стояние Юпитера 
; Земля при этом займет положение 
. Угол 
можно измерить: 
. Угол же 
можно вычислить: за 59 суток Земля проходит угол 
в 
, а Юпитер -- угол 
, равный 
, откуда 
. Теперь вычисляем угол 
: 
. По теореме синусов имеем 
. Радиус орбиты Юпитера найден: 5.1 а.е. (на самом деле -- 5.203 а.е.).
4.2 Перигелийное расстояние 
для Плутона составляет 
а.е. Более точное значение: 
а.е., так что в перигелии Плутон чуть ближе к Солнцу, чем Нептун, почти точно круговая (e = 0.0086) орбита которого имеет a = 30.1. Тесных сближений Нептуна и Плутона никогда не происходит. Периоды их обращения находятся в резонансе 3:2 (с какой точностью?). В начале XXII в. Плутон окажется вблизи афелия, и его расстояние от Солнца будет близко к 
а.е. Поэтому, если считать, что мгновенный размер Солнечной системы определяется расстоянием от Солнца до наиболее удаленной от него в данный момент планеты, то можно сказать, что он периодически изменяется от 30 до 50 а.е. См., впрочем задачу .
Период обращения Плутона вокруг Солнца 250 лет. Открыт он был Клайдом Томбо в 1930 г., т.е. 67 лет тому назад. За это время он сместился по орбите на угол 
. На самом деле смещение несколько больше (почему?).
4.3 По третьему закону Кеплера большая полуось орбиты Нептуна равна 
а.е., т.е. Нептун находится в 30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Угловой диаметр Солнца, видимый с Земли, равен примерно 
. Следовательно, при наблюдении с Нептуна диск Солнца будет виден под углом 
, т.е. на пределе разрешения глаза. Реально увидеть диск будет нельзя -- Солнце "слепит глаза", и предельное разрешение достигаться не будет.
4.4 Вот соответствующий рисунок:
4.5 Поскольку большая полуось орбиты Юпитера равна 5 а.е., то вопрос, поставленный в задаче, можно переформулировать так: под каким углом видна 1 а.е., расположенная перпендикулярно к лучу зрения, с расстояния в 5 а.е.? Ответ очевиден: этот угол равен примерно 1/5 радиана, т.е. около 
.
4.6 Расстояние до 
Cen равно приблизительно 1.3 пк. По определению парсека, это означает, что большая полуось орбиты Земли, т.е. 1 а.е., расположенная перпендикулярно к лучу зрения, видна с Cen под углом 
угл. сек. Так как большая полуось орбиты Юпитера равна 5 а.е., а сама его орбита близка к круговой, то наибольшее угловое расстояние от Солнца, на котором Юпитер бывает виден с Cen, составляет 
угловых секунды.
4.7 Синодический период вращения Солнца для наблюдателя на Меркурии вычисляем по формуле синодического движения: 
суток (меркурианский год равен 
). Плутон же движется чрезвычайно медленно, так что синодический период вращения Солнца практически совпадает с сидерическим, 25 суток. Синодический период при наблюдении с Земли вычислите самостоятельно.
4.8 Угловой диаметр диска Солнца составляет 
. Расстояние от Солнца до Венеры 0.7 а.е., расстояние от Земли до Венеры в нижнем соединении 0.3 а.е. Поэтому, пересекая по диаметру диск Солнца, Венера проходит в своем синодическом движении дугу 
(см. рис.). Для этого требуется 
ее синодического периода. Последний равен 
(см. задачу ). Отсюда находим искомое время: около 8 часов.
В отличие от задачи про солнечное затмение, для ответа на вопрос о направлении перемещения Венеры по диску Солнца будем гелиоцентристами. Если смотреть на Солнечную систему со стороны северного полюса Земли, то и Венера, и Земля движутся вокруг Солнца против часовой стрелки, причем Венера быстрее, чем Земля. Поэтому вблизи нижнего соединения Венера перемещается по небу слева направо. Таким же будет и ее движение по диску Солнца.
4.9 Покрываемая звезда находится на много порядков дальше от Земли, чем Плутон. Поэтому конус тени, отбрасываемой Плутоном на Землю при покрытии, можно считать цилиндром, диаметр сечения которого равен диаметру Плутона, 2300 км. Это и есть оценка ширины полосы на поверхности Земли, в пределах которой можно наблюдать покрытие. [На самом деле надо учесть, что Земля не плоская, а шарообразная. Вследствие этого ширина полосы может достигать 5600 км; покажите это самостоятельно.]
Продолжительность покрытия определяется диаметром тени и скоростью ее движения по поверхности Земли. Орбитальная скорость Земли равна 30 км/с, Плутона -- в 
раз меньше, так как скорость обратно пропорциональна корню из радиуса орбиты. [Оценивая скорость Плутона, мы пренебрегли эллиптичностью его орбиты. Нетрудно учесть ее и найти, что скорость Плутона в перигелии эллиптической орбиты с a = 40 а.е. и e = 0.25 примерно в 
раз выше скорости движения по круговой орбите радиуса 30 а.е.] Если во время покрытия вектор скорости Земли перпендикулярен оси цилиндра тени, то тень движется по поверхности Земли со скоростью Земли относительно Плутона, 
км/с; если параллелен, то со скоростью Плутона, 
км/с. Отсюда -- оценка продолжительности покрытия в том месте, где наблюдатель пересекает тень по диаметру: 
c 
мин в первом случае и 
мин во втором. В других местах продолжительность покрытия будет меньше.
Продолжительность покрытия 1988 г., которое наблюдалось восемью экспедициями в Австралии и Новой Зеландии и в ходе которого у Плутона была открыта атмосфера, составляла в среднем около минуты.
4.10 Мощность сигнала, приходящего на лоцируемое тело, пропорциональна 
. Мощность сигнала, приходящего от тела на Землю, также пропорциональна . Поэтому мощность эхо-сигнала пропорциональна 
. Здесь, как и в задаче , измеряемая величина убывает как четвертая степень расстояния, что в астрономических задачах встречается редко.
Расстояние от Земли до астероида в соединении 
а.е., в противостоянии 
а.е.; отношение расстояний 
. Значит, при локации астероида близ соединения следует послать сигнал, в 
раз более мощный, чем в противостоянии. Неожиданный, согласитесь, результат. Освещенность же от астероида в противостоянии лишь в 
раз больше, чем в соединении. Соответствующая разность звездных величин близка к 
.
