Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒифференциальные уравнени€ первого пор€дка. ѕримеры решений.ƒифференциальные уравнени€ с раздел€ющимис€ переменными


ƒифференциальные уравнени€ (ƒ”). Ёти два слова обычно привод€т в ужас среднестатистического обывател€. ƒифференциальные уравнени€ кажутс€ чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам. ”уууууЕ дифференциальные уравнени€, как бы мне всЄ это пережить?!

“акое мнение и такой настрой в корне неверен, потому-что на самом деле ƒ»‘‘≈–≈Ќ÷»јЋ№Ќџ≈ ”–ј¬Ќ≈Ќ»я Ц Ё“ќ ѕ–ќ—“ќ » ƒј∆≈ ”¬Ћ≈ ј“≈Ћ№Ќќ. „то нужно знать и уметь, дл€ того чтобы научитьс€ решать дифференциальные уравнени€? ƒл€ успешного изучени€ диффуров вы должны хорошо уметь интегрировать и дифференцировать. „ем качественнее изучены темы ѕроизводна€ функции одной переменной и Ќеопределенный интеграл, тем будет легче разобратьс€ в дифференциальных уравнени€х. —кажу больше, если у вас более или менее приличные навыки интегрировани€, то тема практически освоена! „ем больше интегралов различных типов вы умеете решать Ц тем лучше. ѕочему? ѕотому что придетс€ много интегрировать. » дифференцировать. “акже насто€тельно рекомендую научитьс€ находить производную от функции, заданной не€вно.

¬ 95% случаев в контрольных работах встречаютс€ 3 типа дифференциальных уравнений первого пор€дка: уравнени€ с раздел€ющимис€ переменными, которые мы рассмотрим на этом уроке; однородные уравнени€ и линейные неоднородные уравнени€. Ќачинающим изучать диффуры советую ознакомитьс€ с уроками именно в таком пор€дке. ≈сть еще более редкие типы дифференциальных уравнений: уравнени€ в полных дифференциалах, уравнени€ Ѕернулли и некоторые другие. Ќаиболее важными из двух последних видов €вл€ютс€ уравнени€ в полных дифференциалах, поскольку помимо данного ƒ” € рассматриваю новый материал Ц частное интегрирование.

—начала вспомним обычные уравнени€. ќни содержат переменные и числа. ѕростейший пример: . „то значит решить обычное уравнение? Ёто значит, найди множество чисел, которые удовлетвор€ют данному уравнению. Ћегко заметить, что детское уравнение имеет единственный корень: . ƒл€ прикола сделаем проверку, подставим найденный корень в наше уравнение:

Ц получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

ƒиффуры устроены примерно так же!

ƒифференциальное уравнение первого пор€дка, содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .

¬ некоторых случа€х в уравнении первого пор€дка может отсутствовать Ђиксї или (и) Ђигрекї Ц важно чтобы в ƒ” была перва€ производна€ , и не было производных высших пор€дков Ц , и т.д.

„то значит решить дифференциальное уравнение? –ешить дифференциальное уравнение Ц это значит, найти множество функций , которые удовлетвор€ют данному уравнению. “акое множество функций называетс€ общим решением дифференциального уравнени€.

ѕример 1

–ешить дифференциальное уравнение

ѕолный боекомплект. — чего начать решение любого дифференциального уравнени€ первого пор€дка?

¬ первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. ¬споминаем громоздкое обозначение производной: . “акое обозначение производной многим из вас наверн€ка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

»так, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:

Ќа втором этапе всегда смотрим, нельз€ ли разделить переменные? „то значит разделить переменные? √рубо говор€, в левой части нам нужно оставить только Ђигрекиї, а в правой части организовать только Ђиксыї. –азделение переменных выполн€етс€ с помощью Ђшкольныхї манипул€ций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

ƒифференциалы и Ц это полноправные множители и активные участники боевых действий. ¬ рассматриваемом примере переменные легко раздел€ютс€ перекидыванием множителей по правилу пропорции:

ѕеременные разделены. ¬ левой части Ц только Ђигрекиї, в правой части Ц только Ђиксыї.

—ледующий этап Ц интегрирование дифференциального уравнени€. ¬сЄ просто, навешиваем интегралы на обе части:

–азумеетс€, интегралы нужно вз€ть. ¬ данном случае они табличные:

 ак мы помним, к любой первообразной приписываетс€ константа. «десь два интеграла, но константу достаточно записать один раз. ѕочти всегда еЄ приписывают в правой части.

—трого говор€, после того, как вз€ты интегралы, дифференциальное уравнение считаетс€ решенным. ≈динственное, у нас Ђигрекї не выражен через Ђиксї, то есть решение представлено в не€вном виде. –ешение дифференциального уравнени€ в не€вном виде называетс€ общим интегралом дифференциального уравнени€. “о есть, Ц это общий интеграл.

“еперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытатьс€ представить функцию в €вном виде.

ѕожалуйста, запомните первый технический приЄм, он очень распространен и часто примен€етс€ в практических задани€х.  огда в правой части после интегрировани€ по€вл€етс€ логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

“о есть, вместо записи обычно пишут .

«десь Ц это така€ же полноценна€ константа, как и . «ачем это нужно? ј дл€ того, чтобы легче было выразить Ђигрекї. »спользуем школьное свойство логарифмов: . ¬ данном случае:

“еперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:

‘ункци€ представлена в €вном виде. Ёто и есть общее решение.

ћножество функций €вл€етс€ общим решением дифференциального уравнени€ .

ѕридава€ константе различные значени€, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнени€. Ћюба€ из функций , , и т.д. будет удовлетвор€ть дифференциальному уравнению .

»ногда общее решение называют семейством функций. ¬ данном примере общее решение Ц это семейство линейных функций, а точнее, семейство пр€мых пропорциональностей.

ћногие дифференциальные уравнени€ довольно легко проверить. ƒелаетс€ это очень просто, берЄм найденное решение и находим производную:

ѕодставл€ем наше решение и найденную производную в исходное уравнение :

Ц получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. »ными словами, общее решение удовлетвор€ет уравнению .

ѕосле обсто€тельного разжевывани€ первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнени€х.

1) ¬ этом примере нам удалось разделить переменные: . ¬сегда ли это можно сделать? Ќет, не всегда. » даже чаще переменные разделить нельз€. Ќапример, в однородных уравнени€х первого пор€дка, необходимо сначала провести замену. ¬ других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого пор€дка, нужно использовать различные приЄмы и методы дл€ нахождени€ общего решени€. ”равнени€ с раздел€ющимис€ переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке Ц простейший тип дифференциальных уравнений.

2) ¬сегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Ќет, не всегда. ќчень легко придумать Ђнавороченноеї уравнение, которое не проинтегрировать, кроме того, существуют неберущиес€ интегралы. Ќо подобные ƒ” можно решить приближенно с помощью специальных методов. ƒаламбер и  оши гарантируют. Етьфу, lurkmore.ru давеча начиталс€.

3) ¬ данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . ¬сегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить Ђигрекї в €вном виде? Ќет не всегда. Ќапример: . Ќу и как тут выразить Ђигрекї?! ¬ таких случа€х ответ следует записать в виде общего интеграла.  роме того, иногда общее решение найти можно, но оно записываетс€ настолько громоздко и кор€во, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

“оропитьс€ не будем. ≈ще одно простое ƒ” и еще один типовой приЄм решени€.

ѕример 2

Ќайти частное решение дифференциального уравнени€ , удовлетвор€ющее начальному условию

ѕо условию требуетс€ найти частное решение ƒ”, удовлетвор€ющее начальному условию. “ака€ постановка вопроса также называетс€ задачей  оши.

—начала находим общее решение. ¬ уравнении нет переменной Ђиксї, но это не должно смущать, главное, в нЄм есть перва€ производна€.

ѕереписываем производную в нужном виде:

ќчевидно, что переменные можно разделить, мальчики Ц налево, девочки Ц направо:

»нтегрируем уравнение:

ќбщий интеграл получен. «десь константу € нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратитс€ в другую константу.

“еперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить Ђигрекї в €вном виде). ¬споминаем старое, доброе, школьное: . ¬ данном случае:

 онстанта в показателе смотритс€ как-то некошерно, поэтому еЄ обычно спускают с небес на землю. ≈сли подробно, то происходит это так. »спользу€ свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

≈сли Ц это константа, то Ц тоже некотора€ константа, которую обозначим через букву :

«апомните Ђсносї константы, это второй технический приЄм, который часто используют в ходе решени€ дифференциальных уравнений.

»так, общее решение: . “акое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

Ќа завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетвор€ющее заданному начальному условию . Ёто тоже просто.

¬ чЄм состоит задача? Ќеобходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполн€лось заданное начальное условие .

ќформить можно по-разному, но пон€тнее всего, пожалуй, будет так. ¬ общее решение вместо Ђиксаї подставл€ем ноль, а вместо Ђигрекаї двойку:



“о есть,

—тандартна€ верси€ оформлени€:

¬ общее решение подставл€ем найденное значение константы :
Ц это и есть нужное нам частное решение.

¬ыполним проверку. ѕроверка частного решение включает в себ€ два этапа.

—начала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетвор€ет начальному условию ? ¬место Ђиксаї подставл€ем ноль и смотрим, что получитс€:
Ц да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполн€етс€.

¬торой этап уже знаком. ЅерЄм полученное частное решение и находим производную:

ѕодставл€ем и в исходное уравнение :


Ц получено верное равенство.

¬ывод: частное решение найдено правильно.

ѕереходим к более содержательным примерам.

ѕример 3

–ешить дифференциальное уравнение

–ешение: ѕереписываем производную в нужном нам виде:

ќцениваем, можно ли разделить переменные? ћожно. ѕереносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

» перекидываем множители по правилу пропорции:

ѕеременные разделены, интегрируем обе части:

ƒолжен предупредить, приближаетс€ судный день. ≈сли вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деватьс€ некуда Ц придетс€ их осваивать сейчас.

»нтеграл левой части легко найти методом подведени€ функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправл€емс€ стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке »нтегрирование тригонометрических функций в прошлом году:


¬ правой части у нас получилс€ логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

“еперь пробуем упростить общий интеграл. ѕоскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавитьс€. ћаксимально Ђупаковываемї логарифмы. ”паковка проводитс€ с помощью трЄх свойств:


ѕожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они примен€ютс€ очень часто.

–ешение распишу очень подробно:


”паковка завершена, убираем логарифмы:

ћожно ли выразить Ђигрекї? ћожно. Ќадо возвести в квадрат обе части. Ќо делать этого не нужно.

“ретий технический совет: ≈сли дл€ получени€ общего решени€ нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержатьс€ от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. ƒело в том, что общее решение будет смотретьс€ вычурно и ужасно Ц с большими корн€ми, знаками .

ѕоэтому ответ запишем в виде общего интеграла. ’орошим тоном считаетс€ представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. ƒелать это не об€зательно, но всегда же выгодно порадовать профессора;-)

ќтвет: общий интеграл:

ѕримечание: общий интеграл любого уравнени€ можно записать не единственным способом. “аким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

ќбщий интеграл тоже провер€етс€ довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной не€вно. ƒифференцируем ответ:

”множаем оба слагаемых на :

» делим на :

ѕолучено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

ѕример 4

Ќайти частное решение дифференциального уравнени€ , удовлетвор€ющее начальному условию . ¬ыполнить проверку.

Ёто пример дл€ самосто€тельного решени€. Ќапоминаю, что задача  оши состоит из двух этапов:
1) Ќахождение общего решение.
2) Ќахождение частного решени€.

ѕроверка тоже проводитс€ в два этапа (см. также образец ѕримера 2), нужно:
1) ”бедитьс€, что найденное частное решение действительно удовлетвор€ет начальному условию.
2) ѕроверить, что частное решение вообще удовлетвор€ет дифференциальному уравнению.

ѕолное решение и ответ в конце урока.

ѕример 5

Ќайти частное решение дифференциального уравнени€ , удовлетвор€ющее начальному условию . ¬ыполнить проверку.

–ешение: —начала найдем общее решение.ƒанное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощаетс€. –аздел€ем переменные:

»нтегрируем уравнение:

»нтеграл слева Ц табличный, интеграл справа Ц берем методом подведени€ функции под знак дифференциала:

ќбщий интеграл получен, нельз€ ли удачно выразить общее решение? ћожно. Ќавешиваем логарифмы:

(Ќадеюсь, всем пон€тно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

»так, общее решение:

Ќайдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . ¬ общее решение вместо Ђиксаї подставл€ем ноль, а вместо Ђигрекаї логарифм двух:

Ѕолее привычное оформление:

ѕодставл€ем найденное значение константы в общее решение.

ќтвет: частное решение:

ѕроверка: —начала проверим, выполнено ли начальное условие :
Ц всЄ гуд.

“еперь проверим, а удовлетвор€ет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Ќаходим производную:

—мотрим на исходное уравнение: Ц оно представлено в дифференциалах. ≈сть два способа проверки. ћожно из найденной производной выразить дифференциал :

ѕодставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

»спользуем основное логарифмическое тождество :

ѕолучено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

¬торой способ проверки зеркален и более привычен: из уравнени€ выразим производную, дл€ этого разделим все штуки на :

» в преобразованное ƒ” подставим полученное частное решение и найденную производную . ¬ результате упрощений тоже должно получитьс€ верное равенство.

ѕример 6

–ешить дифференциальное уравнение . ќтвет представить в виде общего интеграла .

Ёто пример дл€ самосто€тельного решени€, полное решение и ответ в конце урока.

 акие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с раздел€ющимис€ переменными?

1) Ќе всегда очевидно (особенно, чайнику), что переменные можно разделить. –ассмотрим условный пример: . «десь нужно провести вынесение множителей за скобки: и отделить корни: .  ак действовать дальше Ц пон€тно.

2) —ложности при самом интегрировании. »нтегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъ€ны в навыках нахождени€ неопределенного интеграла, то со многими диффурами придетс€ туго.   тому же у составителей сборников и методичек попул€рна логика Ђраз уж дифференциальное уравнение €вл€етс€ простым, то пусть интегралы будут посложнееї.

3) ѕреобразовани€ с константой.  ак все заметили, с константой в дифференциальных уравнени€х можно делать практически всЄ, что угодно. » не всегда такие преобразовани€ пон€тны новичку. –ассмотрим еще один условный пример: . ¬ нЄм целесообразно умножить все слагаемые на 2: . ѕолученна€ константа Ц это тоже кака€-то константа, которую можно обозначить через : . ƒа, и коль скоро в правой части логарифм, то константу целесообразно переписать в виде другой константы: .

Ѕеда же состоит в том, что частенько не заморачиваютс€ с индексами, и используют одну и ту же букву . » в результате запись решени€ принимает следующий вид:

„то за фигн€? “ут же ошибки. ‘ормально Ц да. ј неформально Ц ошибки нет, подразумеваетс€, что при преобразовании константы всЄ равно получаетс€ кака€-то друга€ константа .

»ли такой пример, предположим, что в ходе решени€ уравнени€ получен общий интеграл . “акой ответ выгл€дит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки: . ‘ормально по записи тут оп€ть ошибка, следовало бы записать . Ќо неформально подразумеваетс€, что Ц это всЄ равно кака€-то друга€ константа (тем более может принимать любое значение), поэтому смена у константы знака не имеет никакого смысла и можно использовать одну и ту же букву .

я буду старатьс€ избегать небрежного подхода, и всЄ-таки проставл€ть у констант разные индексы при их преобразовании.

ѕример 7

–ешить дифференциальное уравнение . ¬ыполнить проверку.

–ешение: ƒанное уравнение допускает разделение переменных. –аздел€ем переменные:

»нтегрируем:

 онстанту тут не об€зательно определ€ть под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получитс€.

ќтвет: общий интеграл:

ѕроверка: ƒифференцируем ответ (не€вную функцию):

»збавл€емс€ от дробей, дл€ этого умножаем оба слагаемых на :

ѕолучено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

ѕример 8

Ќайти частное решение ƒ”.
,

Ёто пример дл€ самосто€тельного решени€. ≈динственный комментарий, здесь получитс€ общий интеграл, и, правильнее говор€, нужно исхитритьс€ найти не частное решение, а частный интеграл. ѕолное решение и ответ в конце урока.

 ак уже отмечалось, в диффурах с раздел€ющимис€ переменными нередко вырисовываютс€ не самые простые интегралы. » вот еще парочка таких примеров дл€ самосто€тельного решени€. –екомендую всем прорешать примеры єє9-10, независимо от уровн€ подготовки, это позволит актуализировать навыки нахождени€ интегралов или восполнить пробелы в знани€х.

ѕример 9

–ешить дифференциальное уравнение

ѕример 10

–ешить дифференциальное уравнение

ѕомните, что общий интеграл можно записать не единственным способом, и внешний вид ваших ответов может отличатьс€ от внешнего вида моих ответов.  раткий ход решени€ и ответы в конце урока.

—ледующа€ рекомендуема€ стать€ Ц ќднородные дифференциальные уравнени€ первого пор€дка.

”спешного продвижени€!

–ешени€ и ответы:

ѕример 4: –ешение: Ќайдем общее решение. –аздел€ем переменные:


»нтегрируем:



ќбщий интеграл получен, пытаемс€ его упростить. ”паковываем логарифмы и избавл€емс€ от них:


¬ыражаем функцию в €вном виде, использу€ .
ќбщее решение:

Ќайдем частное решение, удовлетвор€ющее начальному условию .
—пособ первый, вместо Ђиксаї подставл€ем 1, вместо Ђигрекаї Ц Ђеї:
.
—пособ второй:

ѕодставл€ем найденное значение константы в общее решение.
ќтвет: частное решение:

ѕроверка: ѕровер€ем, действительно ли выполн€етс€ начальное условие:
, да, начальное условие выполнено.
ѕровер€ем, удовлетвор€ет ли вообще частное решение дифференциальному уравнению. —начала находим производную:

ѕодставим полученное частное решение и найденную производную в исходное уравнение :

ѕолучено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

ѕример 6: –ешение: ƒанное уравнение допускает разделение переменных. –аздел€ем переменные и интегрируем:




ќтвет: общий интеграл:

ѕримечание: тут можно получить и общее решение:

Ќо, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно, поскольку такой ответ смотритс€ довольно хреново.

ѕример 8: –ешение: ƒанное ƒ” допускает разделение переменных. –аздел€ем переменные:



»нтегрируем:


ќбщий интеграл:
Ќайдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию . ѕодставл€ем в общее решение и :

ќтвет: „астный интеграл:
¬ принципе, ответ можно попричесывать и получить что-нибудь более компактное.

ѕример 9: –ешение: ƒанное уравнение допускает разделение переменных. –аздел€ем переменные и интегрируем:

Ћевую часть интегрируем по част€м:

¬ интеграле правой части проведем замену:

“аким образом:


(здесь дробь раскладываетс€ методом неопределенных коэффициентов, но она настолько проста€, что подбор коэффициентов можно выполнить и устно)

ќбратна€ замена:



ќтвет: общий интеграл:

ѕример 10: –ешение: ƒанное уравнение допускает разделение переменных. –аздел€ем переменные и интегрируем:





ћетодом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:



ѕримечание: »нтеграл можно было также найти методом выделени€ полного квадрата.





ќтвет: общее решение:

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
“еори€ сравнительных преимуществ | «адани€ к контрольной работе. 1-10вычислить производную
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 461 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

493 - | 492 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.076 с.