Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


–аздел II. ¬ведение в общую алгебру

Ћекци€ є 5. Ёлементы общей алгебры.

1. —войства бинарных алгебраических операций.

 

ќпределение. Ќа множестве ј определена алгебраическа€ операци€, если каждым двум элементам этого множества, вз€тым в определенном пор€дке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

 

ѕримерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

ќтметим, что скал€рное произведение векторов не может считатьс€ алгебраической операцией, т.к. результатом скал€рного произведени€ будет число, и числа не относ€тс€ к множеству векторов, к которому относ€тс€ сомножители.

 

«амечание. ¬ообще говор€, операци€, определЄнна€ таким образом, называетс€ бинарной, поскольку в ней участвуют два элемента. Ќо также можно говорить об унарных операци€х, в которых участвует только один элемент данного множества, и в соответствие ему однозначным образом поставлен второй элемент этого множества. “аковы, например, операции извлечени€ корн€ квадратного или нахождени€ модул€ числа.

јналогично можно определить тринарную и прочие операции на данном множестве, в зависимости от количества участвующих в них элементов. ¬ общем случае, операцией на множестве будем называть функцию типа .

ќпределение. ќпераци€ , отображающа€ любой элемент множества в себ€, называетс€ тождественной операцией.

“ождественной операцией на множестве , например, €вл€етс€ умножение на единицу.

ƒл€ того чтобы описанные ниже соотношени€ выгл€дели бы более привычно, положим результат применени€ бинарной операции элементам записывать не в функциональном виде , а виде , прин€том дл€ записи арифметических операций.

ќпределение. ќпераци€ называетс€ коммутативной, если дл€ любых элементов выполн€етс€: .

ќперации сложени€ и умножени€ чисел коммутативны, а вычитание и деление некоммутативны. “акже некоммутативна операци€ умножени€ матриц (как известно из курса линейной алгебры).

ќпределение. ќпераци€ называетс€ ассоциативной, если дл€ любых элементов выполн€етс€: .

¬ыполнение услови€ ассоциативности означает, что скобки в выражении можно не расставл€ть. —ложение и умножение чисел ассоциативны, что и позвол€ет не ставить скобки в выражени€х типа и . ¬ качестве примера неассоциативной операции можно привести возведение в степень:

.

ѕравда, запись €вл€етс€ допустимой, но служит сокращением записи выражени€ , а не (сокращЄнна€ запись которого - ). ¬ажным примером ассоциативной операции €вл€етс€ композици€ отображений.

ќпределение. ќпераци€ называетс€ дистрибутивной слева относительно операции , если дл€ любых выполн€етс€:

,

и дистрибутивной справа относительно операции , если дл€ любых выполн€етс€:

.

Ќаличие свойства дистрибутивности позвол€ет раскрывать скобки. Ќапример, умножение дистрибутивно относительно сложени€ (и вычитани€) и справа, и слева:

.

¬озведение в степень дистрибутивно относительно умножени€ справа: , но не слева: . —ложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножени€: . Ќиже будет показано, что операции пересечени€ и объединени€ множеств дистрибутивны относительно друг друга и слева, и справа.

 

2. јлгебраические структуры.

 

ќпределение. ѕусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . —труктура вида называетс€ алгеброй; множество называетс€ несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор У Ф операций называетс€ типом.

ќпределение. ћножество называют замкнутым относительно операции на множестве , если значени€ функции на аргументах принадлежат (то есть ). ≈сли множество замкнуто относительно всех операций , то структура называетс€ подалгеброй алгебры .

 

ѕример 1.

а) јлгебра R называетс€ полем действительных чисел (определение пон€ти€ пол€ будет дано ниже). ≈Є тип - . Ёто означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. «десь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Ќо алгебра вида Q -поле действительных чисел Ц образует подалгебру.

б) ѕусть задано множество . ћножество всех его подмножеств Ц булеан, обозначаетс€ как или . јлгебра называетс€ булевой алгеброй множеств над множеством . ≈Є тип: . ƒл€ любого будет €вл€тьс€ подалгеброй .

в) ћножество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцировани€ €вл€етс€ алгеброй. ћножество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производна€ любой элементарной функции есть также элементарна€ функци€), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

ќпределение. «амыканием множества относительно сигнатуры (обозначаетс€ ) называетс€ множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, примен€€ операции из сигнатуры (включа€ сами элементы ).

Ќапример, в алгебре целых чисел Z замыканием числа 2 €вл€етс€ множество чЄтных чисел.

“еорема 5.1. Ќепустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

 

 

  1. √омоморфизм и изоморфизм.

јлгебры с различными типами (в смысле, определЄнном в пункте 1), очевидно, имеют существенно различное строение. ≈сли же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуетс€ вводимых ниже пон€тий.

ќпределение. ѕусть даны две алгебры и . √омоморфизмом алгебры в алгебру называетс€ функци€ , така€, что дл€ всех выполн€етс€ условие:

дл€ любого . (*)

—мысл данного определени€ состоит в следующем. Ќезависимо от того, выполнена ли сначала операци€ в алгебре , а потом произведено отображение , либо сначала произведено отображение , а потом в алгебре выполнена соответствующа€ операци€ , результат будет одинаков.

—ейчас мы определим некоторые виды гомоморфизма, обладающие дополнительными свойствами.

ќпределение. √омоморфизм, который €вл€етс€ инъекцией, называетс€ мономорфизмом.

ќпределение. √омоморфизм, который €вл€етс€ сюръекцией, называетс€ эпиморфизмом.

ќпределение. √омоморфизм, который €вл€етс€ биекцией, называетс€ изоморфизмом.

“аким образом, можно сказать, что изоморфизм Ц это взаимно однозначный гомоморфизм.

«амечание. ≈сли множества-носители двух данных алгебр равны, то их гомоморфизм называетс€ эндоморфизмом, а изоморфизм Ц автоморфизмом.

“еорема 5.2. ≈сли и - две алгебры одного типа и - изоморфизм, то - тоже изоморфизм.

ѕример 2.

а) ѕусть - множество натуральных чисел, множество натуральных чЄтных чисел. јлгебры и изоморфны; изоморфизмом €вл€етс€ отображение , причЄм условие здесь имеет вид . ѕоскольку , то данный изоморфизм есть изоморфизм алгебры в себ€.

б) »зоморфизмом между алгебрами и €вл€етс€, например, отображение . ”словие имеет вид .

в) Ѕулевы алгебры, образованные двум€ различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы (см. выше), а отображением может служить любое взаимнооднозначное соответствие.

“еорема 5.3. ќтношение изоморфизма €вл€етс€ отношением эквивалентности на множестве алгебр.

ѕон€тие изоморфизма €вл€етс€ одним из важнейших пон€тий в математике. ≈го сущность можно выразить следующим образом. ≈сли две алгебры изоморфны, то элементы и операции любой из них можно переименовать таким образом, что эти алгебры совпадут. Ёто позвол€ет, получив некоторое эквивалентное соотношение в данной алгебре, распростран€ть его на любую изоморфную ей алгебру. –аспространЄнное в математике выражение Ус точностью до изоморфизмаФ означает, что рассматриваютс€ только те свойства объектов, которые сохран€ютс€ при изоморфизме, то есть €вл€ютс€ общими дл€ всех изоморфных объектов. ¬ частности, изоморфизм сохран€ет коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность.

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
«адача на применение законов сохранени€ | јнтична€ эстетика
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-05-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 750 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

2245 - | 2002 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.018 с.