Глава III

Что мы можем узнать о четвертом измерении, изучая геометрические отношения внутри нашего пространства? – Каким должно быть отношение трехмерного тела к четырехмерному? – Четырехмерное тело как след от движения трехмерного тела по направлению, в нем не заключающемуся. – Четырехмерное тело как состоящее из бесконечного количества тел трехмерных. – Трехмерное тело как разрез четырехмерного. – Части тел и целые тела в трех и в четырех измерениях. – Несоизмеримость трехмерного и четырехмерного тела. – Материальный атом как разрез линии четвертого измерения

В другой своей книге "The Fourth Dimension" ("Четвертое измерение") Хинтон делает интересное замечание относительно способа, при помощи которого мы можем подойти к вопросу о высших измерениях.

Он говорит так:

Наше пространство несет в себе самом отношения, которые позволяют нам определить отношения известного нам пространства к высшему.

Мы знаем в пространстве отношения точки к линии, линии к поверхности, поверхности к телу. Такого же рода должно быть отношение трехмерного пространства к высшему.

Действительно, если мы остановимся на этой мысли и рассмотрим глубокое различие между точкой и линией, между линией и поверхностью, между поверхностью и телом, – мы поймем, как много нового и непонятного для нас должно лежать в четвертом измерении.

Как в точке невозможно представить себе линию и законы линии, как в линии нельзя представить себе поверхность и законы поверхности, как в поверхности нельзя представить тело и понять законы тела, так и в нашем пространстве нельзя представить себе тела, имеющего больше трех измерений, и нельзя понять законов существования этого тела.

Но, изучая взаимные отношения точки, линии, поверхности и тело, мы начинаем узнавать что-то и, о четвертом измерении, то есть о пространстве четырех измерений. Начинаем узнавать, чем оно может быть в сравнении с нашим трехмерным пространством, и чем не может быть.

Последнее мы узнаём прежде всего. И это особенно важно, потому что избавляет нас от множества глубоко укоренившихся иллюзий, очень вредных для правильного познания.

Мы узнаём, чего не может быть в пространстве четырех измерений, и это позволяет нам установить, что там может быть.

Попробуем рассмотреть эти отношения внутри нашего пространства и посмотрим, какие заключения мы можем сделать на основании их изучения.

Мы знаем, что наша геометрия рассматривает линию как след от движения точки, поверхность – как след от движения линии и тело – как след от движения поверхности. На основании этого мы задаем себе вопрос: нельзя ли рассматривать "тело четырех измерений" как след от движения тела трех измерений?

Что же это за движение и по какому направлению?

Точка, двигаясь в пространстве и оставляя след своего движения в виде линии, движется по направлению, в ней не заключающемуся, потому что в точке нет никакого направления.

Линия, двигаясь в пространстве и оставляя след своего движения в виде поверхности, движется по направлению, в ней не заключающемуся, потому что, двигаясь по направлению, заключающемуся в ней, линия всегда останется только линией.

Поверхность, двигаясь в пространстве и оставляя след своего движения в виде тела, тоже движется по направлению, в ней не заключающемуся. Если она будет двигаться по одному из направлений, заключающихся в ней, то она всегда останется поверхностью. Чтобы оставить след своего движения в виде "тела" или трехмерной фигуры, она должна отойти от себя, двигаться по тому направлению, которого нет в ней самой.

По аналогии со всем этим и тело для того, чтобы оставить след своего движения в виде четырехмерной фигуры, должно двигаться по направлению, в нем не заключающемуся; иначе говоря, тело должно выйти само из себя, отойти от себя. Дальше будет установлено, как мы это должны понимать.

Пока мы можем сказать, что направление движения по четвертому измерению лежит вне всех тех направлений, которые возможны в трехмерной фигуре.

Мы рассматриваем линию как бесконечное число точек, поверхность – как бесконечное число линий тело – как бесконечное число поверхностей.

По аналогии с этим можно предположить, что тело четырех измерений следует рассматривать как бесконечное число тел трех измерений, а пространство четырех измерений – как бесконечное число трехмерных пространств.

Затем, мы знаем, что линия ограничена точками, поверхность ограничена линиями, тело ограничено поверхностями.

Возможно, что пространство четырех измерений ограничено телами трех измерений.

Или можно сказать, что линия есть расстояние между точками, поверхность – расстояние между линиями, тело – расстояние между поверхностями.

Или так, что линия отделяет одну от другой две или несколько точек (прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками), поверхность отделяет одну от другой две или несколько линий, тело отделяет одну от другой несколько поверхностей; так, куб отделяет одну от другой шесть плоских поверхностей, которые мы называем его сторонами.

При этом линия связывает несколько отдельных точек в нечто целое (прямая, кривая, ломаная); поверхность связывает несколько линий в нечто целое (квадрат, треугольник); тело связывает несколько поверхностей в нечто целое (куб, пирамида).

Возможно, что пространство четырех измерений есть расстояние между рядом тел, отделяющее эти тела одно от другого – и в то же время связывающее в какое-то непонятное нам целое тела, которые кажутся нам отдельными.

Затем, точку мы рассматриваем как разрез линии, линию – как разрез поверхности, поверхность – как разрез тела.

По аналогии с этим трехмерное тело (куб, шар, пирамиду), вероятно, можно рассматривать как разрез тела четырех измерений, а все трехмерное пространство – как разрез четырехмерного.

Если всякое трехмерное тело есть разрез четырехмерного, то всякая точка трехмерного тела является разрезом линии четырехмерного измерения. "Атом" физического тела можно рассматривать не как нечто материальное, а как пересечение нашего сознания линии четвертого измерения.

Взгляд на трехмерное тело как на разрез четырехмерного приводит к мысли, что многие отдельные для нас трехмерные тела могут быть разрезами частей одного четырехмерного тела.

Простой пример пояснит эту мысль. Если мы представим себе горизонтальную плоскость, пересекающую вершину дерева параллельно земле, то на этой плоскости разрезы ветвей покажутся отдельными и совершенно не связанными друг с другом. Между тем в нашем пространстве, с нашей точки зрения, это разрезы ветвей одного дерева, составляющих вместе одну вершину, питающихся от одного корня, дающих одну тень.

Или еще интересный пример, показывающий ту же мысль, приводимый в одном из его сочинений Ледбитером. Если мы прикоснемся к поверхности стола кончиками пяти пальцев одной руки, то на поверхности стола будут только пять кружков, и на этой поверхности нельзя составить никакой идеи о руке и о человеке, которому принадлежит эта рука. На поверхности стола будут пять отдельных кружков. Как представить себе по ним человека, со всем богатством его физической и духовной жизни? Это невозможно. Наше отношение к миру четырех измерений может быть именно таково, как отношение к человеку того сознания, которое видит пять кружков на столе. Мы видим только "кончики пальцев", потому для нас и непостижимо четвертое измерение.

Затем, мы знаем, что на плоскости можно изобразить трехмерное тело, можно нарисовать куб, многогранник, шар. Это не будет настоящий куб или настоящий шар, а только проекция куба или шара на плоскости. Может быть, мы имеем право думать, что трехмерные тела нашего пространства являются как бы изображениями в нашей сфере непостижимых для нас четырехмерных тел.