Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Одноканальные системы массового обслуживания




Найдем сначала среднюю длину очереди и вероятность появления очереди заданной длины на единственной станции обслуживания. Предположим, что скорость поступления и обслуживания случайны и не зависят от неограниченной длины очереди.

Модель 1.

Обозначим Рn – вероятность образования очереди из n заказов (включая и находящийся в обслуживании) в произвольный момент времени, l – средняя скорость появления заказов, m – средняя скорость обслуживания одного заказа.

Вероятность Рn имеет четкий смысл: она показывает среднее относительное время наличия очереди длиной n при функционировании системы в стационарном режиме. Например, если Р0 = 1/2, то это означает, что в среднем половину рабочего времени очереди нет (оборудование простаивает). Справедливы следующие формулы:

Рn = hn(1 – h). (2.6.1)

Величина h = l/m называется интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки станции. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Найдем n среднее число заявок, находящихся в системе

n = l/(m – l). (2.6.2)

Для среднее время ожидания обслуживания, справедливо

= 1/(m – l) – 1/m. (2.6.3)

Для средняя длина очереди

=l . (2.6.4)

Пример 2.6.2. Пусть заказы на обслуживание поступают со средней интенсивностью l = 5 заявок в час. Продолжительность выполнения одной заявки в среднем равна 10 мин., т.е. m =60/10=6 з/ч. Поскольку h=l/m= 5/6< 1, система может функционировать в стационарном режиме. Найдем среднее время ожидания обслуживания = 1/(m –l)–1/m =1/(6–5)–1/6=5/6 (50мин), тогда среднее число клиентов, ожидающих обслуживания, равно =l =25/6=4.17≈4. Для «разумного» обеспечения местами прибывающих клиентов зададимся целью обеспечить одновременно сидячими местами, например, 80% клиентов. Это эквивалентно выполнению условия

Р0 + Р1 + Р2 + …+ Рw ≥ 0.8,

где w – подлежащее определению число мест. Используя (2.6.1)

(1 – h) + h(1 – h) +…+ hw(1 – h) ≥ 0.8.

учитывая, что

(1 – h) + h(1 – h) +…+ hw(1 – h) =(1 – h)(1 + h +…+ hw) = 1 –hw+1,

получаем hw+1 ≤ 0.2 и окончательно w ≥ ln(0.2)/ln(5/6) – 1 = 7.8 ≈ 8.

Таким образом, для одновременного размещения, по крайней мере, 80% прибывающих клиентов минимальное число сидячих мест должно быть в два раза больше среднего числа ожидающих обслуживания клиентов.

Важной характеристикой является также доля времени, в течение которого станция обслуживания простаивает. Вероятность такого события

Р0 =1 – h ≈ 0.17.

Вероятности того, что на станции обслуживается ровно один клиент (или два – один обслуживается, второй ждет) равны соответственно:

Р1 =h(1 – h) ≈ 0.139,

Р2 =h 2(1 – h) ≈ 0.116.

Модель 2.

Рассмотрим случай ограниченной очереди, когда при наличии в системе N требований ни одна из дополнительных заявок на обслуживание не принимается либо сам клиент отказывается присоединиться к очереди из-за отсутствия места в блоке ожидания. Формулы для параметров такой системы массового обслуживания:

Рn = hn(1 – h)/(1 – hN+1), n ≤ N (2.6.5)

Рn = 0, n > N.

Следует отметить, что в этой модели параметр h= l/m не обязательно должен быть меньше единицы, поскольку число допускаемых в систему требований ограничено, и для h = 1 Рn=1/(N +1).

Выражение для среднего числа находящихся в системе заявок принимает следующий вид

n = h(1 – (N+1)hN + NhN+1)/(1 – h)/(1 – hN+1), для h ≠1, (2.6.6)

N/2, для h=1.

Поскольку вероятность того, что заказ не имеет возможности попасть в очередь, равняется РN, доля заказов, поступающих в систему, равняется 1– РN (относительная пропускная способность системы). Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени) определяется величиной А=l(1– РN).

Отсюда характеристики системы имеют вид:

Для среднее число заказов, ожидающих обслуживания:

= n – l(1 – РN)/m, (2.6.7)

для среднее время ожидания обслуживания:

= /l /(1 – РN). (2.6.8)

Пример 2.6.3. Пусть в условиях примера 2.6.2 станция располагает пятью местами для ожидающих клиентов.

В данном примере N =5+1=6, h=5/6, а

РN =(5/6)6(1 – 5/6)/(1 – (5/6) 7) = 0.0774, N = 6.

Отсюда следует, что частота случаев, когда клиент не попадает на станцию равняется lРN =5×0.0774=0.387 заявки в час, т.е. при 8-часовом режиме работы станция теряет за день 8·0,387=3 клиента.

Относительная пропускная способность системы будет 1–0.0774=0.9226, абсолютная пропускная способность А=5×0.9226=4.613. Применяя (2.6.6) – (2.6.8), получаем

n = (5/6)(1 – 7(5/6)6 + 6(5/6)7)/(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7)= 2.29,

=2.29 – 5(1 – 0.0774)/6=1.52,

=1.52/5 /(1 – 0.0774)=0.33 часа (20 мин.).

Таким образом, при введении ограничения на количество мест для ожидания (N=6), среднее время ожидания обслуживания сократилось на полчаса. Это было достигнуто за счет «потери» в среднем 3 клиентов в день из-за недостаточности мест для ожидания. Вычислим вероятность того, что в системе обслуживаются 0, 1 или 2 клиента:

Р0 =(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.231,

Р1 =(5/6)(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.193,

Р2 =(5/6)2(1 – 5/6)/(1 – (5/6)7) = 0.160.





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-09-20; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 676 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Слабые люди всю жизнь стараются быть не хуже других. Сильным во что бы то ни стало нужно стать лучше всех. © Борис Акунин
==> читать все изречения...

2290 - | 2194 -


© 2015-2025 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.012 с.