Данная модель характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита (т.е. нехватка товара не допускается, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик). Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:
а) использование осветительных ламп в здании;
б) использование канцелярских товаров крупной фирмой;
в) использование таких промышленных изделий, как гайки, болты и т.п.;
г) потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).
Предположим, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна b. Пусть q – размер заказа, ts – интервал времени между поступлениями заказов, R – полный спрос за все время планирования T. В данной модели наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером q и падает до нуля спустя время ts (рис.2.5.1).
q q q q q
ts ts ts ts ts
Т
Рис. 2.5.1. Кривая запасов. Модель без дефицита.
Тогда q /2 – средний запас в течение ts, b = R/Т, ts = q/b.
Чем меньше размер заказа q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже. Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина q выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат (минимизации их суммы).
Пусть с1 – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении (при покупке или производстве), с2 – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени, тогда суммарные затраты в единицу времени можно представить как функцию от q в виде:
с(q) = затраты на оформление заказа в единицу времени + затраты на хранение запасов в единицу времени =
= с1/ ts + с2 q/2 = с1b/q + с2q /2. (2.5.1)
В точке минимума функции с(q) ее производная равна нулю:
c′(q) = –с1b/q2 + с2/2 = 0,
откуда находим оптимальное значение размера заказа
q* = Ö2 с1b/ с2. (2.5.2)
Полученное выражение обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона. Подставляя q* в (2.5.1) определим минимальные ожидаемые суммарные накладные расходы:
С* = Тс(q*) =ТÖ2с1с2b. (2.5.3)
Время расхода оптимальной партии равно
ts* = q* /b = Ö2 с1/(b с2). (2.5.4)
Пример 2.5.1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед. Затраты на размещение каждого заказа постоянны и равны 1000 руб. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса составляют 0.2 руб. Требуется определить оптимальный размер партии, оптимальную продолжительность цикла поставок и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат. Подстановка исходных данных примера в уравнения (2.5.2)-(2.5.4) нам дает
q* = Ö2´100´1000/0.2 = 1000 ед.
С* =365Ö2´100´1000´0.2 = 73000 руб.
ts* = Ö2´1000/(100´0.2) = 10 дней.
Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа от момента размещения до его действительной поставки. Тогда необходимо определять точку возобновления заказа, как правило, через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа.
Пример 2.5.2. Предположим в условиях примера 2.5.1, что срок выполнения заказа L равен 12 дням. Так как оптимальная продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа в условиях налаженного производства происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12 – 10 = 2 дня. Таким образом, заказы размером q*=1000 должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 2´100=200ед. После стабилизации системы можно считать, что срок выполнения заказа равен L – ts* при L > ts*. В описанных условиях в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще не выполненного заказа, и «эффективный» срок выполнения заказа принят равным 2 дням.
