Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х =(х ₁, х ₂,..., х_n) – вектор валового выпуска. Обозначим через р =(p ₁, p ₂,..., p_n) – вектор цен, i -я координата которого равна цене единицы продукции i -й отрасли.

1. Часть своего дохода каждая i -я отрасль потратит на закупку продукции у дру­гих отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а _{1 i} , второй отрасли в объеме а _{2 i} , п -й отрасли в объеме а_ni и т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х_i отрасли необ­ходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V _i (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х_iр_i = х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n)+ V _i.

Разделив это равенство на х_i, получаем

р_i = х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n)+ v _i.

где v _i = V _i / х_i – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

p = A^T p + v,

где v = (v₁, v₂,..., v _п) – вектор норм добавленной стоимости, A^T – транспонированная матрица.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^T.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Пример 1.2.2. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая от­расль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть

– транспонированная матрица прямых затрат;

– столбец норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой р =С^T v, где С^T = (Е–А^Т)^-1 – транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем

0,58 0,14 0,18

С^T = (1/0,444) 0,28 0,68 0,24

0,25 0,29 0,69.

10

Отсюда получаем, что р = С^T v = 20.

Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что v = (5,11; 10; 4), находим, что

11,45

р = С^T v = 20,7.

15,625

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй – на 3,5%, третьей отрасли – на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.