Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“ема 2. ћарковские случайные процессы

2.1. ѕон€тие о марковском процессе

 

–ассмотрим сравнительно благопри€тный случай стохастической неопределенности, когда неопределенные факторы, вход€щие в задачу, представл€ют собой случайные величины, веро€тностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. √лавным образом, мы будем заниматьс€ пр€мыми задачами исследовани€ операций, т.е. построением математических моделей некоторых случайных €влений. ¬ стохастических задачах исследовани€ операций часто затруднительно даже построение математической модели, не говор€ уже об оптимизации. ќднако в некоторых особых случа€х такую математическую модель удаетс€ построить. Ёто Ц когда исследуема€ операци€ представл€ет собой так называемый марковский случайный процесс.

ѕусть имеетс€ некотора€ физическа€ система , котора€ с течением времени мен€ет свое состо€ние (переходит из одного состо€ни€ в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. ѕусть в насто€щий момент (рис.) система находитс€ в определенном состо€нии . ћы наблюдаем процесс со стороны и в момент знаем состо€ние системы и всю предысторию процесса, все, что было при . Ќас, естественно, интересует будущее . ћожем ли мы его предсказать? ¬ точности Ц нет, наш процесс случайный, значит Ц непредсказуемый. Ќо какие-то веро€тностные характеристики процесса в будущем мы можем найти. Ќапример, веро€тность того, что через некоторое врем€ система окажетс€ в состо€нии или сохранит состо€ние . ≈сли процесс марковский, то предсказывать можно, только учитыва€ насто€щее состо€ние системы и забыв о его предыстории (поведение системы при ). —амо состо€ние , разумеетс€, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. »наче формулиру€, в марковском процессе будущее зависит от прошлого только через насто€щее.

»так, дадим определение марковского случайного процесса. —лучайный процесс, протекающий в системе, называетс€ марковским, если дл€ любого момента времени веро€тностные характеристики процесса в будущем завис€т только от его состо€ни€ в данный момент и не завис€т от того, когда и как система пришла в это состо€ние.

Ќа практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаютс€, но нередко приходитс€ иметь дело с процессами, дл€ которых вли€нием предыстории можно пренебречь. ѕри изучении таких процессов можно с успехом примен€ть марковские модели.

 

¬ исследовании операций большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состо€ни€ми и непрерывным временем. ѕроцесс называетс€ процессом с дискретными состо€ни€ми, если его возможные состо€ни€ можно заранее перенумеровать, и переход системы из состо€ни€ в состо€ние происходит скачком, практически мгновенно. ѕроцесс называетс€ процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состо€ни€ в состо€ние не фиксированы заранее, а случайны, т.е. переход может осуществитьс€ в любой момент.

ѕример такого процесса: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из стро€ (отказать), после чего мгновенно начинаетс€ ремонт узла, тоже продолжающийс€ заранее неизвестное, случайное врем€. ¬озможные состо€ни€ можно перечислить:

оба узла исправны,

первый узел ремонтируетс€, второй исправен,

второй узел ремонтируетс€, первый исправен,

оба узла ремонтируютс€.

ѕереходы системы из состо€ни€ в состо€ние происход€т практически мгновенно, в случайные моменты выхода из стро€ того или другого узла или окончани€ ремонта.

ѕри анализе случайных процессов с дискретными состо€ни€ми обычно используют так называемый граф состо€ний. ѕостроим граф состо€ний дл€ рассмотренного примера (рис.).

≈сли процесс, протекающий в системе с дискретными состо€ни€ми и непрерывным временем, €вл€етс€ марковским, то дл€ его описани€ можно построить довольно простую математическую модель. Ќо перед этим познакомимс€ с важным пон€тием теории веро€тностей Ц пон€тием Ђпотока событийї.

2.2. ѕотоки событий

 

ѕотоком событий называетс€ последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Ќапример: поток вызовов на телефонной станции; поток отказов (сбоев) Ё¬ћ; поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию.

¬ажной характеристикой потока событий €вл€етс€ его интенсивность - среднее число событий, приход€щеес€ на единицу времени. »нтенсивность потока может быть как посто€нной (), так и переменной, завис€щей от времени . Ќапример, поток автомашин, движущихс€ по улице, днем интенсивнее, чем ночью, в часы пик Ц интенсивнее, чем в другие часы.

ѕоток событий называетс€ регул€рным, если событи€ следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени. Ќа практике чаще встречаютс€ потоки не регул€рные, со случайными интервалами.

ѕоток событий называетс€ стационарным, если его веро€тностные характеристики не завис€т от времени. ¬ частности, интенсивность стационарного потока должна быть посто€нной. Ќа практике часто встречаютс€ потоки событий, которые (по крайней мере на ограниченном участке времени) могут считатьс€ стационарными. Ќапример, поток вызовов, поступающих на ј“— между 13 и 14 часами, практически стационарен; но тот же поток в течение суток уже не стационарен.

ѕоток событий называетс€ потоком без последействи€, если дл€ любых двух непересекающихс€ участков времени и число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Ёто означает, что событи€, образующие поток, по€вл€ютс€ в те или иные моменты времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами. Ќапример, поток пассажиров вход€щих в метро, практически не имеет последействи€. ј вот поток пассажиров выход€щих из метро, уже имеет последействие.

ѕоток событий называетс€ ординарным, если событи€ в нем по€вл€ютс€ поодиночке, а не группами по несколько сразу. Ќапример, поток клиентов, направл€ющихс€ в парикмахерскую или к зубному врачу, обычно ординарен, чего нельз€ сказать о потоке клиентов, направл€ющихс€ в загс дл€ регистрации браков. ≈сли поток событий ординарен, то веро€тностью попадани€ на малый участок времени двух или более событий можно пренебречь.

ѕоток событий называетс€ простейшим, если он обладает сразу трем€ свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействи€.

¬ расчетах, св€занных с потоками событий, очень удобно пользоватьс€ пон€тием Ђэлемента веро€тностиї. –ассмотрим на оси простейший поток с интенсивностью и произвольно расположенный элементарный (очень маленький) участок времени . Ёлементом веро€тности называетс€ веро€тность попадани€ на этот участок хот€ бы одного событи€ потока. ƒл€ простейшего потока элемент веро€тности равен интенсивности потока, умноженной на длину элементарного участка.

(6)

Ёлемент веро€тности, в силу отсутстви€ последействи€, совершенно не зависит от того, сколько событий и когда по€вл€лись ранее.

ѕоток событий называетс€ рекуррентным, если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событи€ми представл€ют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением. ѕример: технический элемент (радиолампа) работает непрерывно до своего отказа (выхода из стро€); отказавший элемент мгновенно замен€етс€ новым. ≈сли отдельные экземпл€ры элемента выход€т из стро€ независимо друг от друга, то поток отказов будет рекуррентным.

2.3. ”равнени€  олмогорова дл€ веро€тностей состо€ний.

‘инальные веро€тности состо€ний.

 

–ассматрива€ марковские процессы с дискретным состо€нием и непрерывным временем удобно представл€ть, что все переходы системы из состо€ни€ в состо€ние происход€т под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлений и т.д.). ≈сли все потоки событий, перевод€щие систему из состо€ни€ в состо€ние Ц простейшие, то процесс протекающий в системе, будет марковким (это достаточное, но не необходимое условие). Ёто и естественно, так как простейший поток не обладает последействием: в нем Ђбудущееї не зависит от Ђпрошлогої.

≈сли система находитс€ в каком-то состо€нии , из которого есть непосредственный переход в другое состо€ние , то это можно представить так, как будто на систему, пока она находитс€ в состо€нии , действует простейший поток событий.  ак только по€витс€ первое событие этого потока, происходит Ђперескокї системы из в .

ƒл€ нагл€дности проставим на графе состо€ний интенсивности потоков событий. ќбозначим через интенсивность потока событий перевод€щего систему из состо€ни€ в . √раф состо€ний с проставленными интенсивност€ми называетс€ размеченным.

ѕостроим такой граф. »нтенсивность потоков событий, перевод€щих систему из состо€ни€ в состо€ние, будем вычисл€ть, предполага€, что среднее врем€ ремонта узла не зависит от того, ремонтируетс€ ли один узел или оба сразу. Ёто будет именно так, если ремонтом каждого узла зан€т отдельный специалист. Ќайдем все интенсивности потоков событий, перевод€щих систему из состо€ни€ в состо€ние. ѕусть система находитс€ в состо€нии .  акой поток событий переводит ее в состо€ние ? ќчевидно, поток отказов первого узла. ≈го интенсивность равна единице, деленной на среднее врем€ безотказной работы первого узла.  акой поток событий переводит систему обратно из в ? ќчевидно, поток Ђокончани€ ремонтовї первого узла. ≈го интенсивность равна единице, деленной на среднее врем€ ремонта первого узла. јналогично вычисл€ютс€ интенсивности потоков событий, перевод€щих систему по всем стрелкам графа (рис).

ѕусть рассматриваетс€ система , имеюща€ возможных состо€ний . Ќазовем веро€тностью го состо€ни€ веро€тность того, что в момент система будет находитьс€ в состо€нии . ќчевидно, что дл€ любого момента сумма всех веро€тностей состо€ний равна 1: .

»ме€ в своем распор€жении размеченный граф состо€ний, можно найти все веро€тности состо€ний как функции времени. ƒл€ этого составл€ютс€ и решаютс€ так называемые уравнени€  олмогорова Ц особого вида дифференциальные уравнени€, в которых неизвестными функци€ми €вл€ютс€ веро€тности состо€ний.

–ассмотрим на конкретном примере, как эти уравнени€ составл€ютс€.

 

Е.

 

Ёто система 4 линейных дифференциальных уравнений с 4-м€ неизвестными функци€ми . ќдно из них любое можно отбросить, заменив его условием нормировки .

—формулируем теперь общее правило составлени€ уравнений  олмогорова. ¬ левой части каждого из них стоит производна€ веро€тности какого-то ( го) состо€ни€. ¬ правой части Ц сумма произведений веро€тностей всех состо€ний, из которых идут стрелки в данное состо€ние на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарна€ интенсивность всех потоков, вывод€щих систему из данного состо€ни€ умноженна€ на веро€тность данного ( го) состо€ни€.

„тобы решить уравнени€  олмогорова и найти веро€тности состо€ний необходимо, прежде всего, задать начальные услови€.

ѕолученную таким образом систему дифференциальных уравнений можно решить с использованием преобразовани€ Ћапласа.

 

 

Е

 

 

ќднако исследовател€ часто интересует вопрос, что будет происходить с веро€тност€ми состо€ний при . Ѕудут ли веро€тности состо€ний стремитс€ к каким-то пределам? ≈сли эти пределы существуют и не завис€т от начального состо€ни€ системы, то они называютс€ финальными веро€тност€ми состо€ний. ¬ теории случайных процессов доказываетс€, что если число состо€ний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то финальные веро€тности существуют.

ѕредположим, что это условие выполнено, и финальные веро€тности существуют:

 

ѕри в системе устанавливаетс€ предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом мен€ет свои состо€ни€, но их веро€тности уже не завис€т от времени. ‘инальную веро€тность состо€ни€ можно истолковать как среднее относительное врем€ пребывани€ системы в этом состо€нии.  ак же вычислить финальные веро€тности?

≈сли веро€тности посто€нны, то их производные равны нулю. «начит, все левые части уравнений  олмогорова будут равны нулю. » мы имеем уже систему не дифференциальных, а линейных алгебраических уравнений.

 



<== предыдуща€ лекци€ | следующа€ лекци€ ==>
ћетодика получени€ ћарковского случайного процесса | ћарковские процессы (м.п.)
ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-09-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 446 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

„то разум человека может постигнуть и во что он может поверить, того он способен достичь © Ќаполеон ’илл
==> читать все изречени€...

689 - | 614 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.022 с.